《江苏省新沂市第二中学高三数学复习 专题46 空间向量及其运算学案 理 苏科版（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省新沂市第二中学高三数学复习 专题46 空间向量及其运算学案 理 苏科版（通用）（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学案46空间向量及其运算【导学引领】（一）考点梳理1共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定量对空间任意两个向量a，b(b0)，b与a共线的充要条件是存在实数，使得ba.推论如图所示，点P在l上的充要条件是：ta其中a叫直线l的方向向量，tR，在l上取a，则可化为t或(1t)t.(2)共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中x，yR，a，b为不共线向量，推论的表达式为xy或对空间任意一点O，有xy或xyz，其中xyz1.(3)空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得pxe1ye2ze3.2空间向量的数量
2、积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是0a，b，若a，b，则称a与b互相垂直，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b则|a|b|cosa，b叫做向量a，b的数量积，记作ab即ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.3空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则aba1b1a2b2a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a(a1，a2，a3)
3、，b(b1，b2，b3)，则ababa1b1，a2b2，a3b3(R)，abab0a1b1a2b2a3b30(a，b均为非零向量)(3)模、夹角和距离公式设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|，cosa，b.设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB|.【自学检测】1下列命题：若A、B、C、D是空间任意四点，则有0；|a|b|ab|是a、b共线的充要条件；若a、b共线，则a与b所在直线平行；对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若xyz(其中x、y、zR)，则P、A、B、C四点共面其中不正确命题的序号是_2在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、两
4、两的夹角均为60，且|1，|2，|3，则|等于_3在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用a，b，c表示)4已知A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)，这四个点_(填“共面”或“不共面”)5(2020广东卷)若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，满足条件(ca)(2b)2，则x_.【合作释疑】空间向量的线性运算【训练1】 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1) ；(2)；(3).【训练2】 如图所
5、示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且2，若xyz，则x，y，z的值分别为_共线、共面向量定理的应用【训练1】 (2020上饶调研)如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD平面EFGH；【训练2】如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC边上的中点，试证A1B平面AC1D.空间向量性质的应用【训练1】 已知空间中三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设aA，bA，(1)若|c|3，且cB，求向量c；(2)求向量a与向量
6、b的夹角的余弦值；(3)若kab与ka2b互相垂直，求实数k的值；(4)若(ab)(ab)与z轴垂直，求，应满足的关系【训练2】如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值【当堂达标】1给出下列四个命题：若pxayb，则p与a，b共面；若p与a，b共面，则pxayb.若xy，则P，M，A、B共面；若P，M，A，B共面，则xy.其中真命题的序号是_2. 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则用a，b，c表示为_3(2020苏州期末)已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值是_4已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值为_5. 如图，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为_6已知a3b与7a5b垂直，且a4b与7a2b垂直，则a，b_.7若a(1,5，1)，b(2,3,5)(1)若(kab)(a3b)，求k；(2)若(kab)(a3b)，求k.8. 如图，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求MN的长
