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1、【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第1章 直线、多边形、圆章末分层突破学案 北师大版选修4-1自我校对平行线分线段成比例定理圆周角定理弦切角定理切割线定理相交弦定理 射影定理的应用射影定理揭示了直角三角形中两直角边在斜边上的射影，斜边及两直角边之间的比例关系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的对应，分清比例中项，否则在做题中极易出错.如图11所示，AD，BE是ABC的高，DFAB于F，DF交BE于G，FD的延长线交AC的延长线于H.图11求证：DF2FGFH.【精彩点拨】在RtADB中，DF2BFAF，要证DF2FGFH，只要证BFAFFG
2、FH，印证BFGHFA即可.【规范解答】BEAC，ABEBAE90.同理，HHAF90，ABEH.又BFGHFA，BFGHFA，BFHFFGAF，BFAFFGFH.在RtADB中，DF2BFAF，DF2FGFH.再练一题1.如图12，在RtABC中，BAC90，ADBC于D，DFAC于F，DEAB于E，试证明：(1)ABACBCAD；图12(2)AD2BCCFBE.【证明】(1)在RtABC中，ADBC，SABCABACBCAD.ABACBCAD.(2)RtADB中，DEAB，由射影定理可得BD2BEAB，同理CD2CFAC，BD2CD2BEABCFAC.又在RtBAC中，ADBC，AD2BD
3、DC，AD4BEABCFAC，又ABACBCAD.即AD3BCCFBE.直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系，即相交、相切、相离；其中直线与圆相切的位置关系非常重要，结合此知识点所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等问题是高考选做题热点之一，解题时要特别注意.如图13所示，O是以AB为直径的ABC的外接圆，点D是劣弧的中点，连接AD并延长，与过C点的切线交于P，OD与BC相交于点E.图13求证：(1)OEAC； (2).【精彩点拨】(1)D为的中点，由垂径定理得ODCB，OEAC，OE为ABC的中位线.(2)连接CD，可得PCDPAC，.，从而得证.【规范解答】(1)AB为O的直径，
4、ACBC.D是的中点，由垂径定理得ODBC，ODAC.又点O为AB的中点，点E为BC的中点，OEAC.(2)连接CD.PC是O的切线，PCDPAC.又P是公共角，PCDPAC.得，得.D是的中点，CDBD，因此，.再练一题2.如图14，O是RtABC的外接圆，ABC90，点P是圆外一点，PA切O于点A，且PAPB.图14(1)求证：PB是O的切线；(2)已知PA，BC1，求O的半径.【解】(1)证明：如图，连接OB.OAOB，OABOBA.PAPB，PABPBA.OABPABOBAPBA，即PAOPBO.又PA是O的切线，PAO90.PBO90.OBPB.又OB是O半径，PB是O的切线.(2)
5、连接OP，交AB于点D.如图，PAPB，点P在线段AB的垂直平分线上.OAOB，点O在线段AB的垂直平分线上.OP垂直平分线段AB.PAOPDA90.又APOOPA，APODPA.AP2PODP.又ODBC，PO(POOD)AP2.即PO2PO()2，解得PO2.在RtAPO中，OA1，即O的半径为1.圆周角及其应用在圆中，连接同弧或等弧上的圆周角，是常用的辅助线，由此可得角相等；有直径或有垂直条件或证明垂直结论，经常根据图形适当作出直径上的圆周角.如图15所示，AB是半圆直径，C为中点，CDAB于D交AE于F.求证：AFCF.图15【精彩点拨】由CDAB，可连接AC，BC，则ABC为直角三角
6、形，证明CAEACD即可.【规范解答】连接AC，BC.AB是直径，ACBC.CDAB，BACD.，BCAE.CAEACD，AFCF.再练一题3.如图16，点A，B，C是圆O上的点，且AB4，ACB45，则圆O的半径R_.图16【解析】法一：如图过点A作直径AD，连接BD，BCA45，BDABCA45，DBA90，ABD为等腰直角三角形，AB4，ADAB4，OA2.法二：连接OA，OB，则AOB2ACB90.AOB为等腰直角三角形，ABOA4，OA2.【答案】2与圆有关的比例线段圆的切线、割线、相交弦可以构成许多相似三角形，结合相似三角形的性质，又可以得到一些比例式、乘积式，在解题中，多联系这些
7、知识，能够计算或证明角、线段的有关结论.如图17，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC4，BE10，且BCAD，求DE的长.图17【精彩点拨】连接AB，则ABCB，由圆内接四边形的性质得D90，在RtCDE中，由勾股定理求解.【规范解答】设CBADx，则由割线定理得：CACDCBCE，即4(4x)x(x10)，化简得x26x160，解得x2或x8(舍去)，即CD6，CE12.连接AB，因为CA为小圆的直径，所以CBA90，即ABE90，则由圆的内接四边形对角互补，得D90，则CD2DE2CE2，所以62DE2122，所以DE6.再练一题4.
8、如图18，ABC中，ABAC，以AB为直径作圆，交BC于D，O是圆心，DM是O的切线交AC于M.图18求证：DC2ACCM.【证明】连接AD，OD.AB是直径，ADBC.OAOD，BADODA.又ABAC，ADBC，BADCAD.则CADODA，ODAC.DM是O切线，ODDM.则DMAC，DC2ACCM.等价转化的思想转化与化归就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或易解决的问题，最终求得问题的解答.在相似三角形中有很多相等的比例式或等积式，而两者的联系往往是通过几何图形间的等价转换进行的.如图19所示，在等腰ABC中，过顶点A作ADBC，过底边
9、端点C作CEAB，作DFCE于F，FGAD于G，求证：.图19【精彩点拨】延长FG交AB于K连接DK，易得K，F分别为BE，CE的中点，易证RtADBRtDGF，得；RtADBKGD，得，把以上三式相乘整理可得结论.【规范解答】如图所示，延长FG交AB于K，连接DK，DFEC，ABEC，DFBE.ABAC，ADBC，BDDC，EFCF.FGBC，EFKFCD，RtFDCRtEKF，KFDC，EKFFDC，四边形KFCD是平行四边形，FCDFKD，EKDEKFFKDFCDFDC90，DKAB，DFAB.BADGDF，RtADBRtDGF，.GKBD，AKGABD，.在ABD中，ADB90，DKA
10、BADBAKD.又AKDKGD，ADBKGD，.由相乘，得.再练一题5.如图111所示，在ABC中，CAB90，ADBC于D，BE是ABC的平分线，交AD于F，求证：.图111【证明】由三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比得，在ABD中，在ABC中，在RtABC中，由射影定理知，AB2BDBC，即.由得，由得.1.(广东高考)如图112，已知AB是圆O的直径，AB4，EC是圆O的切线，切点为C，BC1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD_. 【导学号：96990040】图112【解析】AB为直径，BCA90.由OPBC，得OPBC，AC，CPPA
11、.EC为O的切线，DCPABCAOP.又APOCPD，DCPAOP，DP，OD8.【答案】82.(天津高考)如图113，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE2AE2，BDED，则线段CE的长为_.图113【解析】如图，设圆心为O，连接OD，则OBOD.因为AB是圆的直径，BE2AE2，所以AE1，OB.又BDED，B为BOD与BDE的公共底角，所以BODBDE，所以，所以BD2BOBE3，所以BDDE.因为AEBECEDE，所以CE.【答案】3.(全国卷)如图114，OAB是等腰三角形，AOB120，以O为圆心，OA为半径作圆.图114(1)证明：直线AB与O相切；(2)点C，D在O上
12、，且A，B，C，D四点共圆，证明：ABCD.【证明】(1)设E是AB的中点，连接OE.因为OAOB，AOB120，所以OEAB，AOE60.在RtAOE中，OEAO，即O到直线AB的距离等于O的半径，所以直线AB与O相切.(2)因为OA2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心.设O是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O在线段AB的垂直平分线上，所以OOAB.同理可证，OOCD，所以ABCD.4.(全国卷)如图115，O为等腰三角形ABC内一点，O与ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点.图115(1)证明：EFBC；(2)若AG等于O的半径，且AEMN2，求四边形EBCF的面积.【解】(1)证明：由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分线.又因为O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AEAF，故ADEF，从而EFBC.(2)解：由(1)知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分线.又EF为O的弦，所以O在AD上.连
