《高中数学第1章直线、多边形、圆1.2.32.42.5学案北师大选修4-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第1章直线、多边形、圆1.2.32.42.5学案北师大选修4-1（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3直线和圆的极坐标方程2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5圆锥曲线统一的极坐标方程1.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.(重点)2.掌握简单图形的极坐标方程与直角坐标方程的互化.(易错易混点)3.用方程表示平面图形时，会选择适当的坐标系来表示.(难点)基础初探教材整理1曲线的极坐标方程1.曲线的极坐标方程在极坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程(，)0建立了如下的关系：(1)曲线C上的每个点的极坐标中至少有一组(，)满足方程(，)0；(2)极坐标满足方程(，)0的点都在曲线C上.那么方程(，)0叫作曲线C的极坐标方程，曲线C叫作极坐标方程(，)0的曲线.2.常见
2、简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为C(r,0)，半径为r的圆2rcos_圆心为C，半径为r的圆2rsin_(0)过极点，倾斜角为的直线(R)或(R)过点A(a,0)，与极轴垂直的直线cos a过点A，与极轴平行的直线sin_a(0)过点A(a,0)，且与极轴成角的直线的极坐标方程sin() asin_(0)判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)过极点且垂直于极轴的直线方程为x.()(2)直线cos 2与直线sin 2互相平行.()(3)cos 表示一个圆.()【解析】(1)过极点且垂直于极轴的直线上的点的极角都可表示为，故正确.(2)cos 2表示
3、直线x2，sin 2表示直线y2，这两直线互相垂直.(3)cos 可化为x2y2x，故正确.【答案】(1)(2)(3)教材整理2曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系xOy的x的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位.利用和把曲线的两种方程进行相互转化.填空：(1)曲线1的直角坐标方程为_.(2)方程y2x的极坐标方程为_.(3)圆2cos 的直角坐标方程为_.【解析】(1)1，即21，x2y21.(2)把ysin ，xcos 代入y2x，得sin 2cos ，即tan 2.(3)2cos 即22cos ，所以x2y22x，即(x1)2y21.【答案
4、】(1)x2y21(2)tan 2(3)(x1)2y21教材整理3圆锥曲线统一的极坐标方程设定点为F，定直线为l，过定点F作定直线l的垂线，垂足为K，以F为极点，FK的反向延长线Fx为极轴，建立极坐标系.如图124，设定点F到直线l的距离|FK|p，M(，)为曲线上任意一点，曲线的极坐标方程为.图124当0e1时，方程表示椭圆.当e1时，方程表示开口向右的抛物线.当e1时，方程只表示双曲线的右支，定点是它的右焦点.质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型求简单图形的极坐标方程(1)求过点A(1,0)且倾斜角
5、为的直线的极坐标方程；(2)求圆心在A处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点是否在这个圆上. 【导学号：12990011】【精彩点拨】解答本题先根据题意画出草图，设点M(，)后建立关于与的方程化简即可.【自主解答】(1)如图，设M(，)(0)为直线上除点A以外的任意一点，则xAM，OAM，OMA.在OAM中，由正弦定理得，即，所以sin，即，化简，得(cos sin )1，经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为(cos sin )1.(2)由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(，)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|2r，连结AM，则OMMA.
6、在RtOAM中，|OM|OA|cos AOM，即2rcos ，4sin .经验证，点O(0,0)，A的坐标满足上式.所以满足条件的圆的极坐标方程为4sin .sin ，4sin 4sin 2，点在此圆上.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：(1)建立适当的极坐标系；(2)在曲线上任取一点M(，)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式(因涉及的是长度与角度，所以列等式的实质是解三角形)；(4)用极坐标，表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程.通常第(5)步不必写出，只要对特殊点的坐标加以检验即可.再练一题1.(1)求过A且平行于极轴的直线方程.(2)
7、在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹.【解】(1)如图所示，在直线l上任意取点M(，).A，|MH|2sin ，在RtOMH中，|MH|OM|sin ，即sin ，所以过A且平行于极轴的直线方程为sin ，其中0. (2)设M(，)是轨迹上任意一点.连结OM并延长交圆A于点P(0，0)，则有0，02.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为8cos ，得08cos 0，所以28cos ，即4cos .故所求轨迹方程是4cos .它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆.化曲线的直角坐标方程为极坐标方程将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程.(1)射线yx
8、(x0)；(2)圆x2y22ax0(a0).【精彩点拨】【自主解答】(1)将xcos ，ysin ，代入yx，得sin cos ，tan ，或.又x0，cos 0，射线yx(x0)的极坐标方程为(0).(2)将xcos ，ysin 代入x2y22ax0，得2cos22sin22acos 0，即(2acos )0，2acos ，圆x2y22ax0(a0)的极坐标方程为2acos ，圆心为(a,0)，半径为r|a|.1.化曲线的直角坐标方程f(x，y)0为极坐标方程f(，)0，只要将xcos ，ysin 代入到方程f(x，y)0中即可.化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为0.例如x2y225
9、化为极坐标方程时，有5或5两种情况，由于0，所以只取5.事实上，这两个方程都是以极点为圆心，以5为半径的圆.2.由直角坐标方程化为极坐标方程最后要化简.再练一题2.曲线C的直角坐标方程为x2y22x0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_.【解析】直角坐标方程x2y22x0可化为x2y22x，将2x2y2，xcos 代入整理得2cos .【答案】2cos 化曲线的极坐标方程为直角坐标方程化下列曲线的极坐标方程为直角坐标方程，并判断曲线的形状.(1)cos 2；(2)2cos ；(3)2cos 22；(4).【精彩点拨】【自主解答】根据点的极坐标化为直角坐标的公
10、式：2x2y2，cos x，sin y.(1)cos 2，x2，是过点(2,0)，垂直于x轴的直线.(2)2cos ，22cos ，x2y22x0，即 (x1)2y21.故曲线是圆心在(1,0)，半径为1的圆.(3)2cos 22，2(cos2sin2)2，即2cos22sin22，x2y22.故曲线是中心在原点，焦点在x轴上的等轴双曲线.(4)，1cos ，1x，两边平方并整理，得y22.故曲线是顶点为，焦点为F(0,0)，准线方程为x1的抛物线.1.将2x2y2，cos x，sin y代入曲线的极坐标方程，整理即得曲线的直角坐标方程.2.解决此类问题常常通过方程变形，构造出形如cos ，s
11、in ，2的式子，进行整体代换.方程的两边同乘以(或同除以)或方程两边平方是常用的变形方法.再练一题3.在极坐标系中，点到直线sin 2的距离等于_. 【导学号：12990012】【解析】极坐标系中点对应的直角坐标为(，1).极坐标系中直线sin 2对应直角坐标系中直线y2.故所求距离为1.【答案】1探究共研型曲线的极坐标方程的建立探究1在极坐标系中，求圆的极坐标方程的一般思路是什么？求直线的极坐标方程呢？【提示】在圆上设M(，)为任意一点，连结OM，构造出含OM的三角形，再利用解直角三角形或解斜三角形的正弦、余弦定理求OM，即把OM用表示，从而得到圆的极坐标方程.求直线的极坐标方程时，首先在直线上设任意一点M(，)，构造直角三角形，利用勾股定理建立方程.探究2在极坐标系内，如何确定某一个点P是否在某曲线C上？【提示】在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，只需判断点P的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C的方程即可.探究3我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？【提示】如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断
