《高中数学第1章直线、多边形、圆1.2.1圆周角定理学案北师大选修4-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第1章直线、多边形、圆1.2.1圆周角定理学案北师大选修4-1（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.圆与直线2.1圆周角定理1.掌握圆周角定理，圆周角定理的两个推论.2.会用圆周角定理及其推论解决与圆心角、圆周角有关的问题.基础初探教材整理1圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的孤的度数的一半.1.ABC内接于O，且345，则A_，B_，C_.【解析】345，的度数为90，的度数为120，的度数为150，A60，B75，C45.【答案】607545教材整理2圆周角定理的两个推论推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弧是半圆.2.如图121，AB为O的直径
2、，C，D是O上的两点，BAC20，则DAC的度数是()图121A.30B.35C.45D.70【解析】BAC20，的度数为40，的度数为140.，的度数为70.DAC35.【答案】B3.如图122，A，B，C是O的圆周上三点，若BOC3BOA，则CAB是ACB的_倍. 【导学号：96990014】图122【解析】ACBAOB，CABBOC，又BOC3BOA，CAB3ACB.【答案】3质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型与圆周角定理相关的证明如图123，已知：ABC内接于O，D，E在BC边上，且BDCE，
3、12.图123求证：ABAC.【精彩点拨】证明此题可先添加辅助线，再由圆周角12得到其所对弧相等.进而构造等弦、等弧的条件.【自主解答】延长AD，AE，分别交O于F，G，连接BF，CG，12，BFCG，FBDGCE.又BDCE，BFDCGE，FG，ABAC.1.解答本题时，添加辅助线，构造等弧是解题的关键.2.利用圆周角定理证明等量关系是一类重要的数学问题，在解此类问题时，主要是分析圆周角、圆心角、弧、弦之间的等量关系，有时，需添加辅助线构造等弧、等角、等弦的条件.再练一题1.如图124，ABC内接于O，高AD，BE相交于H，AD的延长线交O于F，求证：BFBH.图124【证明】BEAC，AD
4、BC，AHEC.AHEBHF，FC，BHFF.BFBH.直径所对的圆周角如图125，AB是半圆的直径，AC为弦，且ACBC43，AB10 cm，ODAC于D.求四边形OBCD的面积.图125【精彩点拨】由AB是半圆的直径知C90，由条件求出AC，BC，四边形OBCD面积可求.【自主解答】AB是半圆的直径，C90.ACBC43，可设AC4x，BC3x.又AB10，16x29x2100，x2，AC8 cm，BC6 cm.又ODAC，ODBC，AD4 cm，OD3 cm.S四边形OBCDSABCSAOD683424618(cm2).1.解答本题时利用ACBC43，得到AC与BC的关系，然后根据勾股定
5、理可求出AC与BC的长度.2.在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等.再练一题2.如图126，AB是O的直径，AB2 cm，点C在圆周上，且BAC30，ABD120，CDBD于D.求BD的长. 【导学号：96990015】图126【解】如图，连接BC，AB为O的直径，ACB90.A30，AB2 cm，BC1(cm).ABD120，DBC1206060.CDBD，BCD906030，BD0.5(cm).与圆周角定理有关的计算问题如图127，已知BC为半O的直径，ADBC，垂足为
6、D，BF交AD于E，且AEBE.图127(1)求证：；(2)如果sinFBC，AB4，求AD的长.【精彩点拨】BC为半O的直径，连接AC，构造RtABC.【自主解答】(1)证明：如图，连接AC.BC是半O的直径，BAC90又ADBC，垂足为D，13.在AEB中，AEBE，12.23，即.(2)设DE3x，ADBC，sinFBC，BE5x，BD4x.AEBE，AE5x，AD8x.在RtADB中，ADB90，AB4，(8x)2(4x)2(4)2，解得x1，AD8.与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过三角形相似，解三角形等
7、来计算.再练一题3.已知：如图128，ABC内接于O，点D是上一点，AD交BC于E点，AD6 cm，BD5 cm，CD3 cm，求DE的长.图128【解】，ADBCDE，又，BADECD，ABDCED，即，DE2.5(cm).探究共研型圆周角相等的前提条件探究1“相等的圆周角所对的弧相等”是否正确？【提示】不正确.“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图.若ABDG，则BACEDF，但.探究2圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？【提示】不一定相等.一般有两种情况：相等或互补.弦所对的优弧与所对劣弧所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等
8、又互补.(江苏高考)如图129，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点.证明：OCBD.图129【精彩点拨】所对的圆周角是B与D，BD，OBC为等腰三角形，OCBB.【自主解答】因为B，C是圆O上的两点，所以OBOC.故OCBB.又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故B，D为同弧所对的两个圆周角，所以BD.因此OCBD.再练一题4.在半径等于7 cm的圆内有长为7 cm的弦，则此弦所对的圆周角为() 【导学号：96990016】A.60或120B.30或150C.60D.120【解析】如图所示，O的半径为7 cm，AB7 cm，过O作OCAB于C，则AC cm，sinAOC，A
9、OC60，AOB120.又圆的一条弦所对的圆周角相等或互补，故弦AB所对的圆周角为60或120.【答案】A构建体系1.如图1210，已知圆心角AOB的度数为100，则圆周角ACB的度数是()图1210A.80 B.100 C.120 D.130【解析】AOB100，所对圆心角为260，ACB130.【答案】D2.如图1211，点A，B，C是圆O上的点，且AB4，ACB30，则圆O的面积等于()图1211A.4 B.8C.12D.16【解析】连接OA，OB.ACB30，AOB60.又OAOB，AOB为等边三角形.又AB4，OAOB4.SO4216.【答案】D3.如图1212，A，E是半圆周上的两
10、个三等分点，直径BC4，ADBC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为_.图1212【解析】如图，连接CE，AO，AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得CEB90，CBE30，AOB60.故AOB为等边三角形，AD，ODBD1，DF，AFADDF.【答案】4.如图1213，G是BC为直径的圆上一点，A是劣弧的中点，ADBC，D为垂足，连接AC、BG，其中BG交AD，AC于点E，F.求证：BEEF.图1213【证明】连接AB，BC为直径，BAC90，2DAC90.CDAC90，2C.，1C，12，AEBE.又1BFA90，2DAF90，BFADAF，AEEF，BEEF.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) - 11 -
