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1、第1章 常用逻辑用语1要注意全称命题、存在性命题的自然语言之间的转换2正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可兼”的“或”3有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分4常用“都是”表示全称肯定，它的存在性否定为“不都是”，两者互为否定；用“都不是”表示全称否定，它的存在性肯定可用“至少有一个是”来表示5在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混6否命题与命题的否定的区别对于命题“若
2、p，则q”，其否命题形式为“若非p，则非q”，其命题的否定为“若p，则非q”，即否命题是将条件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论有时一个命题的叙述方式是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成“若p，则q”的形式再判断1转化与化归思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为转化与化归思想一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等通过转化，使复杂问题简单化，抽象问题具体化例1判断下列命题的真假(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；(2)若xAB，则xA且xB；(
3、3)若xy或xy，则|x|y|.解(1)该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真(2)该命题的逆否命题：“若xA或xB，则xAB”，它为假命题，故原命题为假(3)该命题的逆否命题：“若|x|y|，则xy且xy”，它为假命题，故原命题为假跟踪训练1下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：圆x2y2r2与直线axbyc0相切，q：c2(a2b2)r2(其中r0)；(2)p：xy2，q：x，y不都是1.解(1)若圆x2y2r2与直线axbyc0相切，圆心到直线axbyc0的距离等于r，即r，所以c2(a2b2)r2；反过来，若c2(a2b2)r2，则r
4、成立，说明圆x2y2r2与直线axbyc0相切，故p是q的充要条件(2) 非q：x1且y1，非p：xy2.非q非p，而非pD/非q，非q是非p的充分不必要条件，从而，p是q的充分不必要条件例2设命题p：实数x满足x24ax3a20，命题q：实数x满足(1)若a1，且pq为真，求实数x的取值范围；(2)若非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围解(1)由x24ax3a20得(x3a)(xa)0，所以ax3a，当a1时，1x3，即p为真命题时，实数x的取值范围是1x3.由解得即2x3.所以q为真时，实数x的取值范围是2x3.若pq为真，则2x3，则AB.所以03，即1a，命题q：a240，若
5、pq为真，pq为假，求实数a的取值范围解若p为真命题，则a4，即a2或a2.由已知条件知：p与q一真一假，当p为真，q为假时有：所以2a2，综上所述，2a2.2分类讨论思想分类讨论又称逻辑划分，是中学数学常用思想方法之一，分类讨论的关键是逻辑划分标准要准确，从而对问题进行分类求解，常用逻辑用语一章所涉及的不等式大多是含有字母参数的，对这类含参数的问题要进行分类讨论，讨论时要做到不重复、不遗漏例3已知a0，a1，设p：函数yloga(x1)在x(0，)内单调递减；q：曲线yx2(2a3)x1与x轴交于不同的两点，如果pq为真，pq为假，求a的取值范围解方法一由题意知，p和q有且只有一个为真p为真
6、时，0a1；yx2(2a3)x1与x轴有两个不同交点，(2a3)240，得a或a，即q为真时，0a或a.(1)当p为真，且q为假时，a(0,1)(，1)(1，)，即a，1)(2)当p为假，且q为真时，a(1，)，即a(，)综上，a的取值范围为，1)(，)方法二Aa|p(a)a|0a1，Ba|q(a)a|0a，p和q有且只有一个为真aAB且aAB，故a的取值范围为，1)(，)跟踪训练3命题p：函数f(x)lg(ax22x1)的定义域为R；命题q：函数g(x)在(2，)上是增函数如果pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围解当p为真命题时，ax22x10恒成立，即解得a1.当q为真命题时，g
7、(x)1在(2，)上是增函数，a20，即a0)上不是单调函数的充要条件是_答案0m1解析作出函数f(x)|log2x|的图象如图所示，可得故0m0)上不是单调函数的充要条件故填0m1，求证a，b，c，d中至少有一个负数证明假设a，b，c，d中至少有一个负数不成立，则a，b，c，d都为非负数，即a0，b0，c0，d0.因为ab1，cd1，所以(ab)(cd)1，即(acbd)(bcad)1.因为a，b，c，d均为非负数，于是bcad0，故由上式可以知道acbd1，这与已知条件的acbd1矛盾，所以假设不成立，故a，b，c，d中至少有一个负数跟踪训练5用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边
8、长的一半已知：在ABC中，BAC90，D是BC边上的中点，求证：ADBC，因为BDDCBC，所以在ABD中，ADBD，从而BBAD，同理CCAD.所以BCBADCAD，即BCBAC.因为BC180BAC，所以180BACBAC.故BAC90，与题设矛盾由知ADBC.1.对于命题的判断问题，在考试中往往涉及多个知识点综合进行考查考查知识点涉及逻辑联结词、三角函数、不等式、立体几何等诸多内容，得到命题者的青睐该部分的考查重点有两个：(1)是综合其他知识，考查一些简单命题真假的判断；(2)是考查命题四种形式之间的关系体现了考纲对“命题、充分条件、三角函数的有界性、不等式的性质以及空间线面关系等”的要
9、求解决此类问题的关键是灵活根据题干和选项进行判断，主要是选出错误的命题，所以可以利用特例法确定选项，即只需举出一个反例即可说明命题是假命题，对于较难判断的问题，可以转化为它的逆否命题来解决2充分条件、必要条件和充要条件是对命题进行研究和考查的重要途径通过对命题条件和结论的分析，考查对数学概念的准确记忆和深层次的理解3正确理解逻辑联结词的含义，准确把握含有三个逻辑联结词的命题的判断方法，熟记规律：已知命题p、q，只要有一个命题为假，pq就为假；只要有一个为真，pq就为真，非p与p真假相对另外注意命题的否定与命题的否命题的区别，这是两个很容易混淆的概念，要准确把握它们的基本形式，不能混淆4解决全称量词与存在量词问题需要注意两个方面：一是准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式，这两类命题的否定形式有严格的格式，不要和一般命题的否命题的形式混淆；二是要掌握判断全称命题与存在性命题的真假的特例法，即只要找出一个反例就可说明全称命题为假，只要找到一个正例就可以说明存在性命题为真6
