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1、数学学科综合能力测试（五）一. 选择题: 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1. 已知f(x)=的定义域是M, g(x)=lg(x2-x-2)的定义域为N, 那么有 ( )A. MN= B. MNC. NM D. M=N 2. 函数f(x)=sin2(x+)+cos2(x-)-1的最大值是( )A. B. C. 1 D. 2 3. 直线a与平面成角, a是平面的斜线, b是平面内与a异面的任意直线, 则a与b所成的角( )A 最小值为, 最大值为- B 最小值为, 最大值为 C 最小值为, 无最大值 D 无最小值, 最大值为 4. 不等式x(2|x|-2)0的解集是 ( )A
2、(-1, 0)(0, 1) B (-1, 0)(1, +) C (-, -1) (0, 1) D (-, -1)(1, +) 5. 在数列an中, a1=1, 当n2时, n2=a1a2a3a n恒成立, 则a 8= ( ). A B C D 6现从8名男生, 女生中选出2名男生和1名女生分别参加全校“环保”,“天文”“航模”三个研究性学习课题组, 已知共有90种不同的方案, 那么男, 女同学的人数分别是 ( )A男生2人, 女生6人 B男生3人, 女生5人 C男生5人, 女生3人 D男生6人, 女生2人 7. 函数y=asinx-bcosx的图象的一条对称轴的方程是x=, 则直线ax-by+
3、c=0的倾斜角是( ) A. 45 B. 60 C. 120 D. 1358. 在下列图形中, G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱中点, 则表示直线GH, MN是异面直线的图形有( )A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个GNHMHMGNGHGMNHMN9. AB是抛物线y2=2px过焦点的弦P1P2在准线上的射影, 若以AB为直径的球面面积为S1, P1P2绕准线旋转一周所得的圆台侧面积为S2, P1P2所在直线的倾斜角为, 则S1:S2等于( )A. sin2 B. cos2 C. tan2 D. cot210.国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况,
4、 它的计算公式n=(x表示人均食品支出总额, y表示人均个人消费总额), 且y=2x+475. 各种类型家庭如下表所示:家庭类型贫困温饱小康富裕nn59%50%n59%40%n50%30%n40%李先生居住地2002年必1998年食品价格下降了7.5%, 该家庭在2002年购买食品和1998年完全相同的情况下人均少支出75元, 则该家庭2002年属于( )A. 贫困 B. 温饱C. 小康 D. 富裕二. 填空题: 把答案填在题中横线上.11. 已知函数y=f(x)是R上的偶函数, 且在上是减函数, 若f(a)f(2), 则实数a的取值范围 .12. 若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于
5、直线3x-y=0, 则点P的坐标是 .13. 已知一个球的半径为1, 若使其表面积增加到原来的2倍, 则表面积增加后球的体积是 .14. 双曲线的右准线与两条渐进线交于A、B两点, 右焦点为F, 且FAFB, 那么双曲线的离心率为 .(写出一组数值即可, 不必考虑所有情况).三. 解答题:15. 已知zC, |z|=, z2的虚部为2.()球z;()设z, z2, z2-3z分别对应复平面上A、B、C三点, 且A位于第一象限, 求ABC的面积.16. 已知等比数列an的公比为q, 前n项和为Sn, 且S3, S9, S6成等差数列.()求q3的值;()求证a2, a8, a5成成等差数列.17
6、. 如图, 四棱锥P-ABCD的底面为矩形, 则面PAD是正三角形, 且侧面PAD底面ABCD,E是侧棱PD上一点, 且PB平面EAC.()求证:E是PD的中点;()求证:AE平面PCD;()当AD=AB时, 求二面角A-PC-D的正切值.EABCDP18. 某农产品去年歌季度的市场价格如下表:季度第一季度第二季度第三季度第四季度每吨售价(单位:元)195.5200.5204.5199.5今年某公司计划按去年各季度市场价格的“平衡价m”(平衡价m指这样的一个量: 与去年各季度售价差比较, m与各季度售价差的平方和最小)收购该种农产品, 并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点), 计
7、划可收购a万吨, 政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品, 决定将税率降低x个百分点, 预测收购量可增加2x个百分点.()根据条件填空,m= (元/吨);()写出税收y(万元)与x的函数关系式;()若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%, 试确定x的取值范围.19. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象的顶点坐标是(), 且f(3)=2.()求y= f(x)的表达式, 并求出f(1), f(2)的值;()若数列an,bn,对任意的实数x都满足g(x)f(x)+anx+bn=xn+1,nN, 其中g(x)是定义在实数R上的一个函数, 求数列an,bn的通项公式; ()设圆C
8、n: (x-an)2+(y-bn)2=rn2, 若圆Cn与圆Cn+1外切, rn是各项都是正数的等比数列, 记Sn是前n个圆的面积之和, 求.(nN)20. 已知椭圆C的两焦点为F1(-2, 0), F2(0,2).()当直线l过F1与椭圆C交于M、N两点, 且MF2N的周长为12时, 求C的方程;()在()条件下是否存在直线m过P(0, 2)与圆C交于A、B两点, 且以AB为直径的圆过原点, 若存在, 求出直线m的方程; 若不存在, 说明理由.数学学科综合能力测试(五)一、选择题1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.B 7.D 8.C 9.A 10.D二、填空题11.-2，+ 12.(
9、1，0)13. 14.2三、解答题15.解()设z=a+bi(a,bR)，z2=(a2-b2)+2abi.由 解得 或 .z=1+i或z=-1-i.()A位于第一象限，z=1+i.z2=2i.z2-3z=-3-i.A(1，1)，B(0，2)，C(-3，-1). 对应2i-(1+i)=-1+i,对应-3-i-2i=-3-3i,又(-1)(-3)+1(-3)=0， .由 = ， =3 ,得SABC= 3 =3.16.()解：由S3，S9，S6成等差数列，得S3+S6=2S9,若q=1,则S3+S6=9a1,2S9=18a1,由a10得S3+S62S9，与题意不符，所以q1，由S3+S6=2S9得
10、.整理得q3+q6=2q9.由q0，1得q3=- .()由()知a8=a2xq6= a2,a5=a2q3=- a2,a8-a2=a5-a8,所以a2,a8,a5成等差数列.17.()证：设AC与BD交于点O，连结EO.EO是平面PBD与平面EAC的交线.PBC平面PBD，且PB平面EAC，PBEO.又O为AC中点，E为PD中点.()证：由()知E为PD中点，且PAD为正三角形，AEPD .又平面PAD平面 ABCD且CD 平面ABCD，CDAD.CD平面PAD.又AE 平面PAD，CDAE .由、知AE平面PCD.()解由()知AE平面PCD，过E作EGPC，垂足为G，连AG，AGPC.AGE
11、是二面角A-PC-D的平面角.设底面正方形边长为2，AD=2，ED=1，AE= .由 ,EG= .tanAGE= .18.解：()200；()降低税率后的税率为(10-x)%，农产品收购量为a(1+2x%)万担，收购总金额为200a(1+2x%).故y=200a(1+2x%)(10-x)%= a(100+2x)(10-x)= a(100+2x)(10-x)(0x10()原计划税收为200a100%=20a(万元)，依题意得： a(100+2x)(10-x)20a83.2%，即x2+40x-840，解得-42x2，又0x10,0x2.即x的范围是(0，2).19.解()由已知得f(x)=a(x- )2- ，a0，f(3)=a(3- )2- =2,a=1.f(x)=x 2-3x+2.xR.f(1)=0,f(2)=0.()g(1)f(1)+an+bn=1n+1，即an+bn=1 g(2)f(2)+2an+bn=2n+1，即2an+bn=2 n+1 由、得an=2n+1-1,bn=2-2n+1.()cn+1cn = ，设数列rn的公比为q，则rn+rn+1=rn(1+q)=cn+1cn= 即rn(1+q)= .rn+1(1+q)= , =2 rn= ,rn2= 4n.Sn=(r12+r22+r32+rn2)= (41+42+4n)= (4n-1). 20.解()MF1
