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1、 基本不等式教案一、教学目标：1、知识与技能：了解基本不等式的推导过程，理解几何意义，并掌握基本不等式取得等号的条件；能够初步运用基本不等式以及等号取得的条件，求出一些简单函数的最值(最大最小值)，并能解决一些较为简单的实际问题。2、过程与方法：本节内容是学生对不等式认识上的一次提升。要引导学生从数、形两方面探究基本不等式的证明，从而进一步突破难点。定理的证明要严密，要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等严密严谨的思维能力。3、情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力、严谨求实的科学态度，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。同时通过基本不等式的几何解释，提
2、高学生数形结合的能力。二、教学重点和难点：a + b重点：用数形结合思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的多种解释；ab 2难点：理解“当且仅当 = 时取等号”的数学内涵，并会应用基本不等式求解函数的最a b大最小值问题，以及解决一些简单的实际问题.。三、学法与教学用具：先让学生观察常见的图形，通过图形的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题突出数学本质，可调动学生的学习兴趣。定理的证明要留一部分给学生，让他们自主探究。教学用具：直角板、圆规、投影仪，如有条件可以使用多媒体(几何画板)进行教学。四、教学设想：1、几何操作，引入问题：给出如右的所示的几何图形，是 e 的直径，点 C 是OA
3、 BA B上任意一点，过点 C 作垂直于的弦交 e O 于 ，连D DA B结、，同学们，能通过这个圆以及简单的三角形得到一B DA D些相等和不等的关系吗?提问一：现在我们不妨假设2，那么 CD 的长度是多少？、BC = bAC = a2由为直径可知是直角三角形，再根据 DC AB ，容易证得 DDABDDDCB ，A B即得 CD = ab ；提问二：根据初中学习的知识，在一个圆中，任意一条弦长与这个圆的直径有什么关系？任意一条弦长不大于直径的长度，而且当且仅当弦为直径时，长度相等。提问三：结合上面两个问题，我们可能得到一个不等式，写出这个不等式，并说出等式两遍能否相等，若可以，等号成立的
4、条件是什么？1首先由垂径定理可知， ，因此有 = 2ab ，即为 e O 的一条弦长，而C D = D DDD2表示的是 e O 直径的长度，根据上一问的结论可以得知有不等式2，两a2+ b2a2+ b2 ab a2+ b2边同时除以 ，不等式可以表示为：；再据上一问的结论，易知上述不等式可2ab2以成立当且仅当时(即当点 与圆心 重合时)，等号才成立。C Oa = ba2+ b2提问四：深入思考，如果将不等式中的用替换，能够得到什么bab , b,aa2结论；这时，有什么条件限制吗？a , b替换之后，不等式即变为a 0 ,b 0。a + b，当且仅当时等号成立；此时要求有ab = ba22
5、、代数证明，得到结论：根据上面的几何分析结果，我们初步形成不等式结论：+ b 2ab，则a22a + b若a, b R+ab2提问五：能否给出上述两个不等式严格的证明？(学生尝试证明后口答,老师板书)证明(作差法)：Q a + b - ab = a - b2() ；222又 当 时， (a - b)a b0 ；当 = 时， (a - b)a b=0 ；Q22 a + b 2ab，当时取等号。22a = b（注意强调：当且仅当 a = b 时, 有等式a2成立）+ b= ab22证明(分析法)：由于a, b R ，于是+a + b要证，ab2只要证，a + b 2 ab要证，只要证 a + b
6、- 2 ab 0 ，要证，只要证显然，是成立的，所以于是我们得到这节课要学习的内容：，( a - b ) 2 0a + b，当且仅当时取到等号。aba b=2a + b基本不等式：若 ,a b R，则（当且仅当 = 时，等号成立）a bab+23、深化认识： + ba + b1.称为的几何平均数；称 a为的算术平均数。因此基本不等式a , bababa, b22的代数意义是：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。2.其实+ 成立的条件仅需2就可以，但a或b = 0 时定理显然= 0aba 0 , b 0ab 成立，因此一般仅考虑的情况。a 0 , b 04、例题讲解：baab4例 1、已
7、知0 ，求证：求证：（3 ）ab + 2+ a 7aa - 3设计意图：通过简单例题，学生掌握证明格式，理解“前提条件”、“等号成立条件”；111例 2、 若，且1 ，求证： (1)(1)(- 1) 8a,b, c (0,+ )a+ b + c =-abc设计意图：熟练运用基本不等式；不等式证明题中，等量关系条件的运用。例 3、（1）用篱笆围一个面积为100 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用m的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面m积最大。最大面积是多少？分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求
8、长和宽和的最小值；（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大例 4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800 m 3，深为3 。如果池底每平m方米的造价为150 元，池壁每平方米的造价为120 元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？分析：若底面的长和宽确定了，水池的造价也就确定了，因此可转化为考察底面的长和宽各为多少时，水池的总造价最低。设计意图：利用基本不等式来解题时，要学会审题及根据题意列出函数表达式 ,要懂得利用基本不等式来求最大（小）值。例题总结：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若 ,a b R，且 a + b = M ，为M+2M定值，
9、则，等号当且仅当 a = b 时成立.ab42.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若 ,a b R，且 ab =P ， 为定值，P+则 a + b 2 P ，等号当且仅当 a = b 时成立.课堂练习21 设a , b 均为正数，证明不等式：.ab1 1+ab( )( )( )2 已知都是正实数，求证：a b b c c a+ 8abca , b , c 5、思考讨论：bcacababc（1）设+，求证：a,b, c R+ a + b + c（2）已知，且。求的最大值及相应的值。x , yx 0, y 03x + 4 y = 12lg x + lg y6、归纳总结：提问六：通过本节课的
10、学习，你学到了什么知识？在解决问题的基础上，你掌握了哪些探求问题的方法和数学思想方法？综合学生的回答，教师再在此基础上总结：a + b（1）基本不等式： 若+，则（当且仅当时，等号成立）a, b Rab a = b2（2）运用基本不等式解决简单最大最小值问题，掌握解题的基本方法；在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，把握“一正、二定、三相等 ”。当条件不完全具备时，应创造条件使之具备条件。一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值;见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值.”。（3）数学思想与方法技巧：数学思想 ：基本不等式的探究过程（从特殊到一般
11、）；基本不等式的几何解释（数形结合）；数形结合思想、“整体与局部”.方法技巧：（1）换元法、比较法、分析法（2）配、凑等技巧。教师归纳总结：整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。例题的安排应该从易到难、从简单到复杂，适应学生的认知水平。教师要根据课堂情况及时提出针对性问题，同时通过学生的解题过程进一步发现学生的思维漏洞，纠正数学表达中的错误。7、测评设计：（1）基本作业：课本 100 习题组 3 、 题， 组 、 题。4 1 2BPA（2）提高练习：4求y = 2 + 3 x +的最小值（其中 x 1 ）.x - 11已知 0 x y +xy设 ,，且，求的最小值yx y R+y= 23 + 3xx11已知正数满足21，求的最小值x , yx + y =+xy五、教学后记、教学反思：
