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1、广东省化州市2020届高三数学上学期第一次模拟考试试题 理（含解析）第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化简集合A，再求，从而根据交集运算求得结果.【详解】由集合，则，又，所以.所以本题答案为D.【点睛】本题考查集合的交并补混合运算，注意认真计算，仔细检查，属基础题.2.设，是的共轭复数，则（ ）A. -1B. C. 1D. 4【答案】C【解析】【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，求得的值，可得，从而求得的值【详解】，则，故，
2、故选C.【点睛】本题主要考查复数基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题3.已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点，（如图所示），则四棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先作出，四点所在的截面图，由图可求四边形的面积，再利用正方体的性质可求点到平面的距离，从而根据锥体体积公式求得结果.【详解】因为，分别为各个面的中心，显然，四点共面，截面如图所示显然四边形为正方形，且边长为，所以.另外易知点到平面的距离为正方体棱长的一半，即四棱锥的高为，所以四棱锥的体积.所以本题答案为A.【点睛】本题考查正方体的性质和正四棱锥
3、的体积，主要考查学生的空间想象能力和计算求解能力，属中档题.4.“中国梦”的英文翻译为“ ”，其中又可以简写为，从“ ”中取6个不同的字母排成一排，含有“”字母组合（顺序不变）的不同排列共有（ ）A. 360种B. 480种C. 600种D. 720种【答案】C【解析】从其他5个字母中任取4个,然后与“”进行全排列,共有,故选B.5.等比数列的各项均为正数，其前项和为，已知，则的值是（ ）A. 28B. 32C. 35D. 41【答案】B【解析】【分析】先考虑时的情况，明显不符合题意，故当时，根据条件列出关于和的方程组，解之即可求出和，从而根据等比数列的通项公式求得结果.【详解】当时，显然不符
4、合题意；当时，得，依题意，代入，解得，.所以本题答案为B.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式和等比数列的通项公式的基本运算，注意讨论的情况，属基础题.6.已知是定义在区间上的奇函数，当时，.则关于的不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】分析：根据函数奇偶性的性质将不等式进行转化为一般的不等式求解即可详解：，函数f(x)为奇函数，又f(x)是定义在1,1上的减函数， ，即，解得不等式的解集为故选A点睛：解题的关键是根据函数的奇偶性将不等式化为或的形式，然后再根据单调性将函数不等式化为一般的不等式求解，解题时不要忘了函数定义域的限制7.已知双曲线的右焦点到渐近线
5、的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可设双曲线的右焦点F(c,0),渐近线的方程为,由右焦点到渐近线的距离等于实轴长，可得c=，可得答案.【详解】解：由题意可设双曲线的右焦点F(c,0),渐进线的方程为，可得d=b=2a，可得c=，可得离心率e=，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质.8.图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所
6、有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】第1代“勾股树”中，小正方形的个数321+113，所有正方形的面积之和为2（1+1）1，第2代“勾股树”中，小正方形的个数722+11，所有的正方形的面积之和为3（2+1）1，以此类推，第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+11，第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n+1）1n+1【详解】解：第1代“勾股树”中，小正方形的个数321+113，如图（2），设直角三角形的三条边长分别为a，b，c，根据勾股定理得a2+b2c2，即正方形A的面积+正方形B的面积正方形C的面积1，所有正方形的面积之和为2（1+
7、1）1，第2代“勾股树”中，小正方形的个数722+11，如图（3），正方形E的面积+正方形F的面积正方形A的面积，正方形M的面积+正方形N的面积正方形B的面积，正方形E的面积+正方形F的面积+正方形M的面积+正方形N的面积正方形A的面积+正方形B的面积正方形C的面积1，所有的正方形的面积之和为3（2+1）1，以此类推，第n代“勾股树”所有正方形的个数为2n+11，第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为：（n+1）1n+1故选：A【点睛】本题考查正方形的性质及勾股定理的应用，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是中档题9.函数（其中，）的图象如图所示，为了得到的
8、图象，只需将的图象（ ）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据图象求出的值，再由“左加右减”法则，判断出函数图象平移的方向和单位长度，即可得到答案【详解】由题意，根据选项可知只与平移有关，没有改变函数图象的形状，故，又函数的图象的第二个点是，所以，所以，故所以只需将函数的图形要向右平移个单位，即可得到的图象，故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的函数图象，其中解答中根据函数图象求解析式时，注意应用正弦函数图象的关键点进行求解，考查了读图能力和图象变换法则，属于中档题10.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大
9、约在公元222年，赵爽为周碑算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】在中，由余弦定理求出，从而根据两个等边三角形的面积比求得所求概率.【详解】在中，由余弦定理，得，所以，所以所求概率为.所以本题答案为A.【点睛】本题考查几何概型和余弦定理的应用，本题关键在于利用余弦定
10、理求出，属中档题.11.形如的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数有最小值，则“囧函数”与函数的图像交点个数为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】令，根据函数有最小值，可得，由此可画出“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象，由图象分析可得结果.【详解】令，则函数有最小值，当函数是增函数时，在上有最小值，当函数是减函数时，在上无最小值，.此时“囧函数”与函数在同一坐标系内的图象如图所示，由图象可知，它们的图象的交点个数为4.所以本题答案为C.【点睛】本题考查对数函数的性质和函数图象的应用，考查学生画图能力和数形结合的思想运用，属中档
11、题.12.设函数（，为自然对数的底数），定义在上的函数满足，且当时，.令，已知存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由，推得为奇函数，再由在上单调递减，转化为，在，有一个零点即可.【详解】因为，所以，所以为奇函数，当时，所以在上单调递减，所以在上单调递减.因为存在，所以，所以，即.令，因为为函数的一个零点，所以在时有一个零点.因为当时，所以函数在时单调递减，由选项知，又因为，所以要使在时有一个零点，只需使，解得，所以的取值范围为，故选.【点睛】本题考查函数零点问题，奇偶性，单调性，综合性强，关键是判断为奇函数及其单调性，由此解得的范
12、围.第卷本试卷包括必考题和选考题两部分.第13.题第21.题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.题第23.题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则_.【答案】-1【解析】【分析】由得，化简计算即可求得结果.【详解】由得，得，故答案为-1【点睛】本题考查平面向量的数量积运算和向量垂直的应用，注意公式要准确，认真计算，属基础题.14.设，满足约束条件，则的最小值为_.【答案】8【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，结合图形求得最优解，再计算目标函数的最小值【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由图形知，当目标函数z2
13、x+3y过点A时，z取得最小值；由，求得A（1，2）；z2x+3y的最小值是21+328故答案为：8【点睛】本题考查了线性规划的应用问题，解题时常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证求出最优解15.若数列的通项公式为，令，则数列的前项和为_.【答案】【解析】【分析】依题意可知数列是等差数列，根据等差数列的前n项和公式可求数列的通项公式，从而利用裂项相消法求和.【详解】由等差数列的通项公式与一次函数的关系可知，数列是首项为3，公差为2 的等差数列，故数列的前项和.所以本题答案为.【点睛】本题考查等差数列的判断和前n项和公式，考查了裂
14、项相消法求和，注意求和消项时剩余项的个数，属中档题.16.在四面体中，当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为_.【答案】；【解析】【分析】先利用勾股定得出是以为斜边的直角三角形，求得其外接圆的直径，再由平面时，四面体的体积取得最大值，求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解【详解】由题意，可知，则,所以是以为斜边的直角三角形，且该三角形的外接圆的直径为，当平面时，四面体的体积取得最大值，此时外接球的直径为,所以四面体的外接球的表面积为【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及球的组合体的性质的应用，其中解答中选择合适的几何模型，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.17.在锐角中，分别是角所对的边，且.（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的值.【答案】（1）；(2) .【解析】【分析】（
