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1、欧几里德与扩展欧几里德算法欧几里德算法欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。第一种证明： a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b假设d是a,b的一个公约数，则有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r因此d是(b,a mod b)的公约数假设d 是(b,a mod b)的公约数，则d | b , d |r ，但是a = kb +r因此d也是(a,b)的公约数因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是
2、一样的，其最大公约数也必然相等，得证 第二种证明： 要证欧几里德算法成立，即证: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公约数的意思，r=a mod b 下面证 gcd（a，b）=gcd（b，r） 设 c是a，b的最大公约数，即c=gcd（a，b），则有 a=mc，b=nc，其中m，n为正整数，且m，n互为质数 由 r= a mod b可知，r= a- qb 其中，q是正整数， 则 r=a-qb=mc-qnc=（m-qn）c b=nc,r=(m-qn)c，且n，（m-qn）互质（假设n，m-qn不互质，则n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整数，且d1 则a=mc
3、=(qx+y)dc, b=xdc,这时a,b 的最大公约数变成dc，与前提矛盾， 所以n ，m-qn一定互质） 则gcd（b,r）=c=gcd（a,b） 得证。 算法的实现：最简单的方法就是应用递归算法，代码如下：1 int gcd(int a,int b)2 3 if(b=0)4 return a;5 return 6 gcd(b,a%b);7 代码可优化如下：1 int gcd(int a,int b)2 3 return b ? gcd(b,a%b) : a;4 当然你也可以用迭代形式：1 int Gcd(int a, int b) 2 3 while(b != 0) 4 5 int r
4、 = b; 6 b = a % b; 7 a = r; 8 9 return a;10 扩展欧几里德算法基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。证明：设 ab。1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；2，ab!=0 时设 ax1+by1=gcd(a,b);bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;即:ax1+by1
5、=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2; 这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2. 上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。 扩展欧几里德的递归代码：1 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 2 3 if(b=0) 4 5 x=1; 6 y=0; 7 return a; 8 9 int r=exgcd(b,a%b,x,y);10 int t=x;11 x=y;12 y=t-a
6、/b*y;13 return r;14 扩展欧几里德非递归代码：1 int exgcd(int m,int n,int &x,int &y) 2 3 int x1,y1,x0,y0; 4 x0=1; y0=0; 5 x1=0; y1=1; 6 x=0; y=1; 7 int r=m%n; 8 int q=(m-r)/n; 9 while(r)10 11 x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;12 x0=x1; y0=y1;13 x1=x; y1=y;14 m=n; n=r; r=m%n;15 q=(m-r)/n;16 17 return n;18 扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：（
7、1）求解不定方程；（2）求解模线性方程（线性同余方程）；（3）求解模的逆元； （1）使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法： 对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。 上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足： p = p0 + b/Gcd(p, q) * t q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数) 至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(
8、p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。 在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b),q1 = q0*(c/Gcd(a,b)， p * a+q * b = c的其他整数解满足： p = p1 + b/Gcd(a, b) * t q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数) p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。相关证明可参考：.cnblogs./void/archive/2011/04/18/2020357.html 用扩
9、展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;代码如下：1 bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)2 3 int d=exgcd(a,b,x,y);4 if(c%d)5 return false;6 int k=c/d;7 x*=k; y*=k; /求得的只是其中一组解8 return true;9 (2)用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法： 同余方程 axb (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。 求解方程 axb (mod n) 相当于求解方程
10、ax+ ny= b, (x, y为整数) 设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d| b，则方程 a* x0+ n* y0= d， 方程两边乘以 b/ d，(因为 d|b，所以能够整除)，得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。 所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解，所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。 axb (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i
11、* (n/ d )mod n i= 0. d-1。 设ans=x*(b/d),s=n/d; 方程axb (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s; 相关证明： 证明方程有一解是: x0 = x(b/d) mod n; 由 a*x0 = a*x(b/d) (mod n) a*x0 = d (b/d) (mod n) (由于 ax = d (mod n) = b (mod n) 证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d) (mod n); 由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d) (mod n) = (a*x0+a*i*(n/d) (mod n)
12、 = a * x0 (mod n) (由于 d | a) = b 首先看一个简单的例子：5x=4(mod3)解得x = 2,5,8,11,14.由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3.那么这个解的间隔是怎么决定的呢？如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了.我们设解之间的间隔为dx.那么有a*x = b(mod n);a*(x+dx) = b(mod n);两式相减，得到:a*dx(mod n)= 0;也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的
13、.设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.即a*dx = a*n/d;所以dx = n/d.因此解之间的间隔就求出来了. 代码如下：1 bool modular_linear_equation(int a,int b,int n) 2 3 int x,y,x0,i; 4 int d=exgcd(a,n,x,y); 5 if(b%d) 6 return false; 7 x0=x*(b/d)%n; /特解 8 for(i=1;id;i+) 9 printf(%dn,(x0+i*(n/d)%n);10 return true;11 （3）用欧几里德算法求模的逆元：
