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1、专题15 小船过河问题【专题概述】1. 合运动与分运动的关系等效性各分运动的共同效果与合运动的效果相同等时性各分运动与合运动同时发生和结束,时间相同独立性各分运动之间互不相干,彼此独立,互不影响同体性各分运动与合运动的研究对象是同一物体的运动2. 合运动与分运动的求法(1) 运动合成与分解:已知分运动求合运动,叫运动的合成;已知合运动求分运动,叫运动的分解。(2) 运动合成与分解的法则:合成和分解是位移、速度、加速度的合成与分解,这些量都是矢量,遵循的是平行四边形定则。(3) 运动合成与分解的方法:在遵循平行四边形定则的前提下,处理合运动和分运动关系时要灵活采用合适的方法,或用作图法,或用【解
2、析】法,依情况而定。可以借鉴力的合成和分解的知识,具体问题具体分析。3. 小船过河：三种过河情况（1）过河时间最短：小船沿着上述不同的方向运动，走到对岸的时间是不相等的，由于运动的等时性知，在垂直于河岸上的速度越大则过河时间越短，所以此时应该调整小船沿着d的方向运动，则求得最短时间为（2）过河路径最短：第一种情况：当船速大于水速时从上图可以看出，当我们适当调整船头的方向，使得船在水流方向上的分速度等于水速，即此时水流方向上小船是不动的，小船的合速度即为V向对岸运动，此时小船的最短位移为第二种情况:船速小于水速，那么在水流方向上，船的分速度此时无论我们怎么调整船头的方向都没有办法保证水流方向的合
3、速度为零，所以小船一定要向下游漂移，如图当合速度的方向与船相对水的速度的方向垂直时，合速度的方向与河岸的夹角最短，渡河航程最小；根据几何关系，则有：=，因此最短的航程是：【典例精讲】1. 求最短位移典例1. 如图，小船在静水中航行速度为10 m/s，水流速度为5 m/s，为了在最短距离内渡河，则小船船头应该保持的方向为（图中任意两个相邻方向间的夹角均为30）（）Aa方向 Bb方向Cc方向 Dd方向【答案】C【解析】因为水流速度小于船在静水中速度，则合速度与河岸垂直时，渡河航程最短，最短航程等于河的宽度；因船在静水中速度为10 m/s，水流速度为5 m/s，设船头与河岸的夹角为，则有水流速度与船
4、在静水中速度的夹角为cos=，即=60；则船头与河岸的夹角为60，且偏向上游，由图可知，C正确，A，B，D错误.典例2. 船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2，为使船行驶到河正对岸的码头，则v1相对v2的方向应为()A B C D【答案】C【解析】根据小船渡河问题的知识，可知要使船垂直到达正对岸即要船的合速度指向对岸.根据平行四边形定则，合运动方向与水速垂直，仅C能满足 2. 求最短时间典例3.小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，即，x是各点到近岸的距离.小船划水速度大小恒为v0，船头始终垂直河岸渡河.则下列说法正确的是（ ）A小船的运动轨迹为直线B水流速度越
5、大，小船渡河所用的时间越长C小船渡河时的实际速度是先变小后变大D小船到达离河对岸处，船的渡河速度为【答案】D3. 船速大于水速典例4. (多选) 如图所示，某人由A点划船渡河，船头指向始终与河岸垂直，则（）A船头垂直河岸渡河所用时间最短B小船到达对岸的位置为正对岸的B点C保持其他条件不变，小船行至河中心后，若水流速度突然增大，则渡河时间变长D保持其他条件不变，小船行至河中心后，若水流速度突然增大，则渡河位移变大【答案】AD典例5. (多选) 在宽度为d的河中，水流速度为v2，船在静水中速度为v1（且v1v2），方向可以选择，现让该船开始渡河，则该船（）A可能的最短渡河时间为B可能的最短渡河位移
6、为dC只有当船头垂直河岸渡河时，渡河时间才和水速无关D不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水速均无关【答案】BD【解析】当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，为，因而A错误；当合速度与河岸垂直时，渡河位移最小，为d，故B正确；将船的实际运动沿船头方向和水流方向分解，由于各个分运动互不影响，因而渡河时间等于沿船头方向的分运动时间，为t=（x1为沿船头指向的分位移）显然与水流速度无关，因而C错误，D正确。4. 水速大于船速典例6.(多选)一船在静水中的速度是6 m/s，要渡过宽为180 m、水流速度为8 m/s的河流，则下列说法中正确的是()A船相对于地的速度可能是15 m/sB此船过河的最短时间是3
7、0 sC此船可以在对岸的任意位置靠岸D此船不可能垂直到达对岸【答案】BD5. 综合题典例7 已知某船在静水中的速度为v1=4 m/s,现让船渡过某条河。假设这条河的两岸是理想的平行线,河宽为d=100 m,水流速度为v2=3 m/s,方向与河岸平行,(1) 欲使船以最短时间渡河,航向怎样?最短时间是多少?船发生的位移有多大?(2) 欲使船以最小位移渡河,航向又怎样?渡河所用时间是多少?【答案】（1）当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时,渡河所用时间最短 125m （2）当船的实际移动速度方向垂直于河岸时,船的位移最小 【解析】(1)当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时,渡河所用时间最短,河水流
8、速平行于河岸,不影响渡河时间,所以当船头垂直于河岸向对岸渡河时,所用时间最短,则最短时间为t=25 s。如图所示,当船到达对岸时,船沿河流方向也发生了位移,由直角三角形的知识可得,船的位移为l=,由题意可得x=v2t=3 m/s25 s=75 m,代入得l=125 m。【总结提升】解决小船渡河问题应注意的两个问题（1）渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水速无关（2）渡河位移最短值与船速与水速的大小有关，当船速大于水速时，最短位移为河宽当船速小于水速时，应利用图解法求极值的方法处理船头垂直于河岸时，航行时间最短， 在处理此问题时要注意三个速度值：小船在静水中的速度、水流的速度、船的实际
9、速度。【专练提升】1、(多选)在一条宽200 m的河中，水的流速v1=1 m/s，一只小船要渡过河至少需要100 s的时间则下列判断正确的是（）A小船相对于静水的速度为2 m/sB无论小船怎样渡河都无法到达正对岸C若小船以最短时间渡河，到达对岸时，距正对岸100 mD若小船航向（船头指向）与上游河岸成60角，则小船渡河位移最短【答案】ACD【解析】当小船的船头始终正对对岸时，渡河时间最短：t=；因此v船=m/s=2 m/s；小船以最短时间渡河，到达对岸时，距正对岸的距离，x=v水t=1100 m=100 m即在正对岸下游100 m处靠岸故A，C正确；当合速度与河岸垂直，小船到达正对岸设静水速的
10、方向与河岸的夹角为cos=解得：=60，故B错误，D正确.2、（多选）甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H，河水流速为v0，划船速度均为v，出发时两船相距H，甲、乙两船船头均与河岸成60角，如图所示已知乙船恰好能垂直到达对岸A点，则下列判断正确的是()A甲、乙两船到达对岸的时间不同Bv2v0C两船可能在未到达对岸前相遇D甲船也在A点靠岸【答案】BD3、一艘小船要从O点渡过一条两岸平行、宽度为d=100 m的河流，已知河水流速为v1=4 m/s，小船在静水中的速度为v2=2 m/s，B点距正对岸的A点x0=173 m下面关于该船渡河的判断，其中正确的是（）A 小船过河的最短航程为100
11、 mB 小船过河的最短时间为25 sC 小船可以在对岸A、B两点间任意一点靠岸D 小船过河的最短航程为200 m【答案】D4、如图所示，河水流动的速度为v且处处相同，河宽度为a在船下水点A的下游距离为b处是瀑布为了使小船渡河安全（不掉到瀑布里去）（）A 小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t=速度最大，最大速度为vmax=B 小船轨迹沿y轴方向渡河位移最小速度最大，最大速度为vmax=C 小船沿轨迹AB运动位移最大、时间最短速度最小，最小速度vmin=D 小船沿轨迹AB运动位移最大速度最小，最小速度vmin=【答案】D【解析】当小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为：t=，故A错误；小船
12、轨迹沿y轴方向渡河位移最小，为a，但沿着船头指向的分速度必须指向上游，合速度不是最大，故B错误；由图，小船沿轨迹AB运动位移最短，由于渡河时间，与船的船头指向沿垂直河岸的分速度有关，故时间不一定最短，故C错误；要充分利用水流的速度，故要合速度要沿着AB方向，此时位移显然是最大的.的速度最小，故：，故v合=；故D正确.5、如图所示，甲、乙两船在同一河岸边A、B两处，两船船头方向与河岸均成角，且恰好对准对岸边C点若两船同时开始渡河，经过一段时间t，同时到达对岸，乙船恰好到达正对岸的D点若河宽d、河水流速均恒定，两船在静水中的划行速率恒定，不影响各自的航行，下列判断正确的是（）A 两船在静水中的划行速率不同B 甲船渡河的路程有可能比乙船渡河的路程小C 两船同时到达D点D 河水流速为【答案】C6、如图所示，两次渡河时船相对水的速度大小和方向都不变已知第一次实际航程为A至B，位移为x1，实际航速为v1，所用时间为t1.由于水速增大，第二次实际航程为A至C，位移为x2，实际航速为v2，所用时间为t2.则()At2t1，v2 Bt2t1，v2Ct2t1，v2 Dt2t1，v2【答案】C10
