《高考数学十年真题分类汇编(2010-2019)专题18坐标系与参数方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学十年真题分类汇编(2010-2019)专题18坐标系与参数方程（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、十年高考真题分类汇编（20102019）数学专题18坐标系与参数方程1.(2018北京理T10)在极坐标系中,直线cos +sin =a(a0)与圆=2cos 相切,则a=_.【答案】2 +1【解析】由题意,可得直线的直角坐标方程为x+y=a(a0),圆的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1.由直线与圆相切,可知|1+0-a|1+1=1,即|1-a|=2,解得a=12.a0,a=2+1.2.(2019全国1理T22文T22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=1-t21+t2,y=4t1+t2 (t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直
2、线l的极坐标方程为2cos +3 sin +11=0.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.【解析】(1)因为-11-t21+t21,且x2+y22=1-t21+t22+4t2(1+t2)2=1,所以C的直角坐标方程为x2+y24=1(x-1).l的直角坐标方程为2x+3y+11=0.(2)由(1)可设C的参数方程为x=cos,y=2sin(为参数,-0)在曲线C:=4sin 上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(1)当0=3时,求0及l的极坐标方程;(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.【解析】(1)因为M(0,0)在C上,当
3、0=3时,0=4sin 3=23.由已知得|OP|=|OA|cos 3=2.设Q(,)为l上除P的任意一点.在RtOPQ中,cos-3=|OP|=2.经检验,点P2,3在曲线cos-3=2上.所以,l的极坐标方程为cos-3=2.(2)设P(,),在RtOAP中,|OP|=|OA|cos =4cos ,即=4cos .因为P在线段OM上,且APOM,故的取值范围是4,2.所以,P点轨迹的极坐标方程为=4cos ,4,2.4.(2019全国3理T22文T22)选修44:坐标系与参数方程 如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B2,4,C2,34,D(2,),弧AB,BC,CD所在圆的圆心分别是(
4、1,0),1,2,(1,),曲线M1是弧AB,曲线M2是弧BC,曲线M3是弧CD.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=3【解析】(1)由题设可得,弧所在圆的极坐标方程分别为=2cos ,=2sin ,=-2cos .所以M1的极坐标方程为=2cos 0,M2的极坐标方程为=2sin ,M3的极坐标方程为=-2cos .(2)设P(,),由题设及(1)知若0,则2cos =,解得=;若,则2sin =,解得=或=;若,则-2cos =,解得=.综上,P的极坐标为.5.(2018全国1文T理22)选修44:坐标系与参数方程在直角
5、坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos -3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.【解析】(1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一
6、个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=43时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-43|x|+2.6.(2018全国2理T22文T22)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线
7、l的参数方程为(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为=1.当cos 0时,l的直角坐标方程为y=tan x+2-tan ,当cos =0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos +sin )t-8=0,因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由得t1+t2=-,故2cos +sin =0,于是直线l的斜率k=tan =-2.7.(2018全国3
8、文T理22)选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为(为参数),过点(0,-)且倾斜角为的直线l与O交于A,B两点.(1)求的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.【解析】(1)O的直角坐标方程为x2+y2=1.当=时,l与O交于两点.当时,记tan =k,则l的方程为y=kx-,l与O交于两点当且仅当1,解得k1,即或.综上,的取值范围是.(2)l的参数方程为t为参数,.设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=,且tA,tB满足t2-2tsin +1=0.于是tA+tB=2sin ,tP=sin .又点P的坐标(x,y)满足所以点P的轨迹的参数
9、方程是为参数,.8.(2017全国1理T22文T22)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.【解析】(1)曲线C的普通方程为+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由解得从而C与l的交点坐标为(3,0),.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos ,sin )到l的距离为d=.当a-4时,d的最大值为.由题设得,所以a=8;当a0),M的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1=
10、.由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程=4cos (0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB面积S=|OA|BsinAOB=4cos =22+.当=-时,S取得最大值2+.所以OAB面积的最大值为2+.10.(2017全国3理T22文T22)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标
11、系,设l3:(cos +sin )- 2 =0,M为l3与C的交点,求M的极径.【解析】(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).设P(x,y),由题设得消去k得x2-y2=4(y0).所以C的普通方程为x2-y2=4(y0).(2)C的极坐标方程为2(cos2-sin2)=4(00).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos .(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.【解析】(1)消
12、去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为2-2sin +1-a2=0.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组若0,由方程组得16cos2-8sin cos +1-a2=0,由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,所以a=1.13.(2016全国2理T23文T23)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.【解析】(1)由x=cos ,y=
