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1、2019-2020学年重庆市沙坪坝区第八中学校高二上学期12月月考数学试题一、单选题1直线过点且与直线平行，则直线的方程为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：依题意设直线的方程为,将点代入方程,求得,故选A.【考点】两条直线平行.2命题“，”的否定是（ ）A，B，C，D，【答案】D【解析】根据全称命题的否定为特称命题解答.【详解】解：命题“，”为全称命题故其否定为：，故选：【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题3对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与（ ）A平行B相交C垂直D异面【答案】C【解析】因为对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与垂
2、直，选C4已知圆为坐标原点，则以为直径的圆的方程( )ABCD【答案】C【解析】先求出圆心和半径，即得圆的方程.【详解】由题得OC中点坐标为（3,4），圆的半径为，所以圆的方程为.故选：C【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分条件也不必要条件【答案】B【解析】根据充分条件、必要条件的定义判断.【详解】解：解不等式得当时，得不到，故充分性不成立；当时，可以得到，故必要性成立；故“”是“”的必要而不充分条件故选：【点睛】本题考查充分条件，必要条件的判断，一元二次不等式的解法，
3、属于基础题.6已知某个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ ）AB200CD240【答案】B【解析】还原几何体得四棱柱，利用三视图求底面积和高可得解.【详解】由三视图可知，该几何体是以侧视图的四边形为底面的四棱柱，高为10，底面面积为，故体积为：.故选B.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及柱体的体积的求解，属于基础题.7已知两点，且是与的等差中项.则动点的轨迹方程是（ ）ABCD【答案】B【解析】根据是与的等差中项，得到，即，得到点在以，为焦点的椭圆上，已知，的值，求出的值，写出椭圆的方程【详解】解：、，是与的等差中项，即，点在以，为焦点的椭圆上，椭圆的方程是：故选：【点睛】
4、本题考查轨迹方程的求法，椭圆的方程，解题的关键是看清点所满足的条件，本题是用定义法来求得轨迹，还有直接法和相关点法可以应用8古希腊数学家阿基米德的墓碑上，刻着一个“圆柱容球”的几何图形，就是圆柱容器里放了一个球，这个球顶天立地，四周碰边（如图）.若记这个球的表面积和体积分别为和，圆柱的表面积和体积分别为和，则（ ） ABCD与的大小关系不确定【答案】B【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，由此能求出结果【详解】解：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，即故选：【点睛】本题考查球和圆柱的体积和表面积的计算及其应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用9已知双曲线，点A、F分别
5、为其右顶点和右焦点，若，则该双曲线的离心率为ABCD【答案】C【解析】依题意，故，两边除以得，解得.10若圆上至少有三个不同的点，到直线的距离为，则取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】分析：先求出圆的圆心和半径，比较半径和，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式可求得结果.详解：圆整理为，所以圆心坐标为，半径为，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离为，所以的范围是，故选B.点睛：该题考查的是有关直线与圆的有关问题，在解题的过程中，需要明确点到直线的距离公式，根据图形的相关性质，得到圆心到直线的距离的范围，从而
6、建立其关于b的不等关系式，求解即可.11正方体上中，点平面，垂足为，垂足为.若，则点的轨迹为（ ）A直线B椭圆C抛物线D双曲线【答案】D【解析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，根据，得到方程，化简即得.【详解】解：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，依题意，故点的轨迹为双曲线故选：【点睛】本题考查立体几何中动点的轨迹问题，双曲线的定义，属于中档题.12三棱柱中，.则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A0BCD【答案】A【解析】以，为一组基底，表示出，即可求出的值，即可得解.【详解】解：，即异面直线与所成角，故选：【点睛】本题考查空间向量的应用，利用空间向量解决异面直线的夹角，属于中档
7、题.二、填空题13已知命题“若m1xm1，则1x2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是_.【答案】1m2.【解析】先写出原命题的逆命题，再根据逆命题中的条件的集合是结论的集合的子集，得到不等式组，进而解不等式组即可得解.【详解】由已知可得，逆命题为“若1x2，则m1xm1”，为真命题，1m2.故答案为：1m2.【点睛】本题主要考查四种命题.要注意如果原命题是“若p，则q”，则它的逆命题是“若q，则p”.14已知平面，若，则与的位置关系是_.【答案】平行（或）【解析】根据面面平行可得线线平行，再由平行公理，即可得证.【详解】解：， 故答案为：平行（或）【点睛】本题考查面面平行的性质，以及平行公理
8、，属于基础题.15已知过抛物线的焦点的直线与该抛物线相交于，两点，且，则点的横坐标为_.；_.【答案】1 2 【解析】抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的已知，则到准线的距离也为2，根据图形是正方形则易得轴，即可得答案【详解】解：由抛物线的定义抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的已知，则到准线的距离也为2根据图形，是正方形可知轴故，点的横坐标为故答案为：；.【点睛】活用圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线最基本的方法到焦点的距离，叫焦半径到焦点的距离常转化到准线的距离求解16正方体的棱长为1.，分别是线段和上的动点.则长度的最小值为_.【答案】【解析】要求长度的最小值，即求异面
9、直线和之间的距离，建立空间直角坐标系，利用向量法求出两异面直线的距离.【详解】解：要求长度的最小值，即求异面直线和之间的距离.如图建立空间直角坐标系，则，则，设异面直线和的法向量为即令，则，故答案为：【点睛】本题考查异面直线之间的距离的计算，属于中档题.三、解答题17设：实数满足，其中；：实数满足.（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）实数的取值范围是；（2）实数的取值范围是.【解析】试题分析：（1）化简命题p，q中的不等式，若pq为真，则p，q至少有1个为真，求出两个命题为真命题的范围，取并集即答案；（2）记，根据p是q的必要不充分条
10、件，即，从而得到a的不等式组，解之即可试题解析：（1）由，得，又，所以，当时，即为真时实数的取值范围是.为真时等价于，得，即为真时实数的取值范围是.若为真，则实数的取值范围是.（2）是的必要不充分条件，等价于且，设，则；则，所以实数的取值范围是.18如图，正三棱柱中，是延长线上一点，且.（1）求证：直线平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据三棱柱的性质，可以证出，结合线面平行的判定定理可以证出直线平面；（2）过作于，利用面面垂直的性质定理，可得平面，即等于点到平面的距离利用等边三角形计算出的长为，结合三角形的面积等于，用锥体体积公式可以算出三棱锥的体积【详
11、解】解（1）因为，且又四边形是平行四边形，可得.又，所以.（2）过作于，又，则且又，所以，即为点到平面的距离.因为正三角形中，所以三棱锥的体积.【点睛】本题以一个特殊正三棱柱为载体，适当加以变化，求三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行的判定、面面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题19平面直角坐标系中，圆.点，.（1）直线，且与圆交于、两点，求直线的方程；（2）若在圆上存在点，使得，试判断满足条件的的个数.【答案】（1）或（2）点的个数为2【解析】（1）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理建立方程，即可求直线的方程；（2）求出的轨迹方程，利用两圆的位置关系，即可得出结论【详解】解（1）斜率为，.
12、设直线方程为，圆，圆心到直线的距离，由得，则或，故直线或；（2）若圆上存在点，则，即，即，因为，所以圆与圆相交.故点的个数为2.【点睛】本题考查了直线与圆的方程的求法，考查了圆与圆的位置关系，属于中档题20已知直线与抛物线有一个公共点.（1）求抛物线方程；（2）斜率不为0的直线经过抛物线的焦点，交抛物线于两点，.抛物线上是否存在两点，关于直线对称？若存在，求出的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）抛物线上不存在两点，关于过焦点的直线对称；详见解析【解析】（1）联立直线与抛物线方程，消去得，因为直线与抛物相切，所以即可求出参数的值.（2）设直线的方程为.假设抛物线上存在两点
13、，关于直线对称，可设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元，设，中点为.列出韦达定理表示出点坐标，其代入方程，即可判断.【详解】解：（1）由题联立方程组消去得因为直线与抛物相切，所以解得或（舍）所以抛物线的方程为.（2）由（1）可知，所以可设直线的方程为.假设抛物线上存在两点，关于直线对称，可设直线的方程为，联立方程组消去得由，得，设，中点为.则，因为在直线上，所以将其代入方程，得，即，代入，得，所以无解，故不存在.即抛物线上不存在两点，关于过焦点的直线对称.【点睛】本题考查直线与抛物线相切求抛物线的方程，直线与抛物线的综合应用，属于中档题.21如图，矩形中，沿对角线将向上折起至，使得平面平面.（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）因为为矩形，所以，.即可证明平面，得到，即可得证.（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值.【详解】解：（1）因为为矩形，所以，.又平面平面，平面平面所以平面，且平面则，又，平面，平面；故平面；（2）过作交于点，则平面在中，即以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则，所以，令为平面的一个法向量，则，取得，即
