《2020届潮州市高三上学期期末数学（理）试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届潮州市高三上学期期末数学（理）试题（解析版）（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2020届广东省潮州市高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1若，则( )ABCD【答案】D【解析】利用集合的补集的定义求出的补集；利用子集的定义判断出【详解】解：，故选：【点睛】本题考查利用集合的交集、补集、并集定义求交集、补集、并集；利用集合包含关系的定义判断集合的包含关系2是虚数单位,复数为纯虚数,则实数为( )A B C D【答案】A【解析】解：3已知函数，若，则( )ABCD【答案】C【解析】首先计算出，再根据的值求出，即可得解.【详解】解：，解得.于是，故选：【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用4“数列既是等差数列又是等比数列”是“
2、数列是常数列”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】数列既是等差数列又是等比数列，则可知是常数列，所以充分性成立；若是常数列，则不是等比数列，所以必要性不成立，所以“数列既是等差数列又是等比数列”是“数列是常数列”的充分不必要条件，故选A。5函数的图象如图所示，则下列结论成立的是( )ABCD【答案】C【解析】根据定义域及特殊点可判断.【详解】解：的图象与轴交于，且点的纵坐标为正，故，定义域为其函数图象间断的横坐标为正，故.故选：【点睛】本题考查函数图象的识别，考查数形结合思想，属于基础题.6现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等
3、比数列，若从这个10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( )ABCD【答案】B【解析】先由题意写出成等比数列的10个数，然后找出小于8的项的个数，代入古典概率的计算公式即可求解【详解】解：由题意成等比数列的10个数为：1，其中小于8的项有：1，共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是故选：【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题7在四边形（ ）ABCD【答案】C【解析】注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，.或者注意到分为四个小直角三角形算面积.【考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易
4、题.8若实数满足，则的最大值和最小值分别为( )ABCD【答案】B【解析】由不等式组作出可行域，令，数形结合求出的最大值和最小值【详解】解：由作可行域如图，令，则，由图可知，当过时，截距最大，最大值为；当过时，截距最小，最小值为的最大值和最小值分别为2，故选：【点睛】本题考查线性规划问题，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法属于中档题9设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是ABCD【答案】D【解析】本题主要考查等比数列的性质：等比数列连续项之和仍为等比数列。即成等比数列，则由等比中项的性质有整理得D选项。10已知双曲线1(a0，b0)
5、的左顶点与抛物线y22px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为( )A2 B2 C4 D4【答案】A【解析】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=-p 2 ，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=1 2 x，由双曲线的性质，可得b=1；则c= 5 ，则焦距为2c=2；故选A11已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围
6、是 ()A(，0B(，1C2,1D2,0【答案】D【解析】当x0时，f(x)x22x0恒成立，由|f(x)|ax得，x22xax，整理得x2(2a)x0，由于g(x)x2(2a)x0恒成立，因为g(0)0，所以0，解得a2，x0时，由于|f(x)|0，若|f(x)|ax恒成立，满足ax0，同时满足以上两个条件2a012三棱锥中，平面，的面积为2，则三棱锥的外接球体积的最小值为( )ABCD【答案】C【解析】由题意画出图形，设，由的面积为2，得，再由，得三角形外接圆的半径，求出球心到平面的距离，再由勾股定理可得外接球的半径，利用基本不等式求得最小值，代入球的体积公式求解【详解】解：如图，设，由的
7、面积为2，得，三角形外接圆的半径，平面，到平面的距离为，设球的半径为，则，当且仅当时“”成立三棱锥的外接球体积的最小值为故选：【点睛】本题考查了棱锥与球的位置关系，考查正弦定理的应用，属于中档题二、填空题13曲线yx(3ln x1)在点(1,1)处的切线的斜率为_【答案】4【解析】先求导函数，利用导数的几何意义，求出在点（1，1）处的切线的斜率【详解】yx（3lnx+1）的导函数为：y3lnx+4，当x1时，y4，曲线yx（3lnx+1）在点（1，1）处的切线的斜率为：4故答案为：4【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题14已知为等差数列，为其前项和，若，则 _【答案】14【解析】设
8、公差为，根据求出公差，即可求出其前项和公式，代入求解即可.【详解】解：设公差为，则，把代入得，故故答案为：【点睛】本题考查等差数列通项公式以及前项和公式，属于基础题.15函数在处取得最大值，则 _【答案】【解析】利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简解析式：，并求出和，由条件和正弦函数的最值列出方程，求出的表达式，由诱导公式求出的值【详解】解：，其中，依题意可得，即，所以故答案为：【点睛】本题主要考查辅助角公式、诱导公式，以及正弦函数的最大值的应用，考查化简、变形能力16已知圆和点，若定点和常数满足，对圆上任意一点，都有，则 _ .【答案】【解析】设，则，则对任意都成立，由此能求出、【详解】解：
9、圆和点，定点，和常数满足：对圆上任意一点，都有，设，则，对任意都成立，由，得，且，解得，故答案为：【点睛】本题考查实数值的求法，考查圆、两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题三、解答题17设的内角的对边分别为，且.（1）求边长的值；（2）若的面积，求的周长.【答案】(1)5 (2) 【解析】（1）由图及已知作垂直于，在直角三角形中求的长（2）由面积公式解出边长，再由余弦定理解出边长，求三边的和即周长【详解】解：解：（1）过作于，则由，在中，（2）由面积公式得得，又，得，由余弦定理得：，的周长【点睛】本题主要考查了射影定理及余弦定
10、理，考查运算能力，属于中档题18如图，直三棱柱中，分别是的中点，.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）连接交于点，由三角形中位线定理得，由此能证明平面（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系分别求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值【详解】证明：证明：连接交于点，则为的中点又是的中点，连接，则因为平面，平面，所以平面（2）由，可得：，即所以又因为直棱柱，所以以点为坐标原点，分别以直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，设平面的法向量为，则且，可解得，令，得平面的
11、一个法向量为， 同理可得平面的一个法向量为， 则 所以二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题19已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）谈论函数的零点个数【答案】(1) 的单调递减区间是，单调递增区间是 (2)见解析【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数不等式，求出函数的单调区间；（2）由（1）知当时，分，三种情况讨论，由函数的定义域为显然没有零点，当转化为函数的交点问题.【详解】解：（1）， 故， 时，故单调递减， 时，故单调递增， 所以，时，的单调递减区间是，单调递增区间是 （2）由（1）知，当时，
12、在处取最小值， 当时，在其定义域内无零点当时，在其定义域内恰有一个零点当时，最小值，因为，且在单调递减，故函数在上有一个零点，因为，又在上单调递增，故函数在上有一个零点，故在其定义域内有两个零点； 当时，在定义域内无零点； 当时，令，可得，分别画出与，易得它们的图象有唯一交点，即此时在其定义域内恰有一个零点综上，时，在其定义域内无零点；或时，在其定义域内恰有一个零点；时，在其定义域内有两个零点；【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点问题，属于中档题.20已知椭圆的焦距为4，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为，取点，连接，过点作的垂线交轴于
13、点，点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆一定有唯一的公共点？并说明理由.【答案】(1) (2) 直线与椭圆一定有唯一的公共点，见解析【解析】（1）根据题意得到关于、的方程组，解得.（2）由题意，点坐标为，设，由知，求出，根据对称表示出点坐标，即可表示出直线的方程，联立直线与椭圆方程消元可得.【详解】解：（1）因为焦距为4，所以，又因为椭圆过点，所以，故，从而椭圆的方程为已知椭圆的焦距为4，且过点. （2）由题意，点坐标为，设，则，再由知，即. 由于，故，因为点是点关于轴的对称点，所以点.故直线的斜率. 又因在椭圆上，所以.从而，故直线的方程为 将代入椭圆方程，得 再将代入，化简得：解得，即直线与椭圆一定有唯一的公共点.【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用问题，属于中档题.21心理学研究表明，人极易受情绪的影响，某选手参加7局4胜制的兵乒球比赛.（1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为；但实际上，如果前一句获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为，求该选手在前3局获胜局数的分布列及数学期望；（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为，记为锐角的内角，求证：【答案】(1)
