《2020届高三上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高三上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2020届湖南师范大学附属中学高三上学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1已知集合,则( )ABCD【答案】B【解析】解一元二次不等式求出集合A，再利用集合的并运算即可求解.【详解】由，所以，故选：B【点睛】本题考查了集合的并运算，同时考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.2已知欧拉公式(i为虚数单位),则根据欧拉公式表示的复数在复平面位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【解析】表示的复数为：，根据即可得出结论.【详解】由题意可得，因此在复平面中位于第二象限.故选：B【点睛】本题考查了复数的几何意义以及三角函数的象限符号，属于基础题.3已知函数,则( )A3B4C5
2、D【答案】A【解析】首先将代入对应解析式求出，再求即可.【详解】由，所以，则.故选：A【点睛】本题考查了分段函数的函数值，同时考查了指数、对数的运算，属于基础题.4已知,且,则( )A0BCD1【答案】B【解析】首先利用同角三角函数的基本关系求出，再由，利用两角和的余弦公式即可求解.【详解】由,且,所以，所以.故选：B【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式，属于基础题.5的展开式中的系数为( )A31B32C36D40【答案】D【解析】利用二项式展开式的通项公式以及多项式相乘即可求解.【详解】的展开式中的系数为：.故选：D【点睛】本题考查了二项式系数，特别注意对系数的化简
3、，需熟记二项式展开式的通项公式，属于基础题.6函数的大致图象是( )ABCD【答案】A【解析】首先利用特殊值令，判断函数值的正负可排除B、C，再验证与的关系即可求解.【详解】令，则，排除B、C；，即，故函数图像关于成中心对称图形，故选：A【点睛】本题考查了函数图像的识别，解决此类问题要充分挖掘函数的性质，可利用排除法，属于中档题.7等腰直角三角形ABC中,点D为斜边BC上的三等分点,且,则( )A0BC2D【答案】D【解析】以为坐标原点，为轴、轴，根据题意写出各点的坐标，利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】以为坐标原点，为轴、轴建立平面直角坐标系， 由,且点D为斜边BC上的三等分点,所以
4、、，又，.故选：D【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.8已知数列为等差数列,其前n项和为,且,若,并设数列的前n项和为,则( )AB0CD【答案】C【解析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求出的通项公式，然后求出，可得每项之和相等，进而求和即可.【详解】由数列为等差数列,则，解得，所以.则， ， 所以，所以.故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，同时考查了三角函数的诱导公式以及数列的周期性，属于中档题.9已知函数是奇函数,且在上单调递减.则的最大值是( )ABCD2【答案】C【解析】利用函数为奇函数，从而可得，即在上单调递增，
5、只需满足 ，解不等式组即可.【详解】因为函数是奇函数,所以，所以，所以，因为在上单调递减， 所以在上单调递增，所以，解得，所以的最大值是.故选：C【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性求参数值以及利用函数得到单调性求参数的取值范围，熟记三角函数的性质是关键，属于中档题.10已知F是双曲线的右焦点,P是双曲线的左顶点,过点F且与x轴垂直的直线交双曲线于A,B两点,若,则该双曲线的离心率e的取值范围为( )ABCD【答案】A【解析】由题可知为等腰三角形,只需，即，从而可得，进而求出离心率的范围.【详解】由题可知为等腰三角形,只需，即,即,即 可得,解得.故选：A【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需熟
6、记双曲线的性质，属于基础题.11已知函数是定义在或上的偶函数,且时,.若函数,则满足不等式的实数a的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】根据题意可得关于对称,且当时,为增函数,由可得,利用函数的对称性只需即可求解.【详解】当时,，即函数在为增函数，所以在为增函数， 令，令，所以，由对勾函数的单调性可知在为增函数，所以在为增函数，由题可知函数关于对称,且当时,为增函数,而由不等式可得,从而得实数a的取值范围是.故选：D【点睛】本题考查了函数的对称性的应用以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.12已知函数,函数的图象在,处的切线平行,则的取值范围为( )ABCD【答案】D【解析】由题可知
7、,则.设,其中,进而.【详解】由题可知,则.不妨设,由，则，即,所以，设，则，当，则，函数在为增函数， 当，则，当，则，函数在为减函数，所以,故选：D【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数在研究函数单调性中的应用，属于中档题.二、填空题13已知x,y满足,则目标函数的取值范围为_.【答案】【解析】作出约束条件的可行域，将目标函数化为，数形结合求出直线截距的取值范围即可求解.【详解】由x,y满足,作出目标函数的可行域如下（阴影部分）：将化为，作出，则表示与平行的直线，由图可知经过时，截距最大，由，解得，所以，所以，即，所以目标函数的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的
8、关键是作出可行域，属于基础题.14过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若,则_.【答案】3【解析】由题意可知直线的斜率存在，设出直线方程：，将直线与抛物线联立，设出交点坐标，利用韦达定理可得，再根据，结合焦点弦公式可得，从而可求出，进而求出【详解】过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,且,则直线的斜率存在，设直线为，所以 ，整理可得，设，则 （1）,由，则 （2）, 将（1）（2）联立可求出或（舍去） 所以.故答案为：3【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题.15已知球O是棱长为1的正方体的外接球,则平面截球O的截面面积是_.【答案】【解析】画出图形
9、，求出球心到平面的距离，然后求出截面圆的半径，即可求出截面面积.【详解】如图，由正方体与球的性质可知，正方体的对角线即为球的直径，且平面，正方体的边长为，则,即截面的半径为，所以截面圆的面积为：，故答案为：【点睛】本题考查了多面体的外接球问题，考查了空间想象能力，属于中档题.16在锐角中，则中线AD长的取值范围是_;【答案】【解析】本道题运用向量方法，计算AD的长度，同时结合锐角三角形这一条件，计算bc的范围，即可【详解】设，对运用正弦定理，得到，解得，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组，解得，故，结合二次函数性质，得到，运用向量得到，所以，结合bc的范围，代入，得到的范围为【点睛】本道题
10、考查了向量的加法运算，考查了锐角三角形判定定理，考查了二次函数的性质，关键将模长联系向量方法计算，难度偏难三、解答题17设函数.(1)求函数的最小正周期T和单调递减区间;(2)在锐角中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且,求的取值范围.【答案】(1),;(2).【解析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化为，再利用周期公式可求周期，利用正弦函数的单调递减区间整体代入即，解不等式即可.（2）利用正弦定理边化角求出，再利用三角形的内角和性质求出，代入解析式，根据三角函数的性质即可求解.【详解】(1) 函数的最小正周期, 令,得,从而函数的单调递减区间为;(2)在锐角中,由知, 则得,
11、从而,故的取值范围为.【点睛】本题考查了二倍角公式、辅助角公式以及三角函数的性质、正弦定理，熟记性质是关键，属于基础题.18如图,在三棱锥中,为等腰直角三角形,为等边三角形,其中O为BC中点,且.(1)求证:平面平面PBC;(2)若且平面EBC,其中E为AP上的点,求CE与平面ABC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】（1）由题意可得,利用线面垂直的判定定理证出平面PAO,从而得证.（2）作PH垂直于平面ABC,垂足为H,由(1)知,点H在直线AO上,以A为原点,AC为x轴,AB为y轴,以过A点与平面ABC垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系,求出以及平面ABC的一个法向量
12、，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】(1) 证明:由题可知,且,故平面PAO,又平面PBC,因此平面平面PBC. (2)作PH垂直于平面ABC,垂足为H,由(1)知,点H在直线AO上.如图,以A为原点,AC为x轴,AB为y轴,以过A点与平面ABC垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系,可得如下坐标:, 设P点坐标为,利用,可得.从.因为E为AP上的点,故存在实数,使得,点E坐标可设为,由平面EBC知,得, 从而,取平面ABC的一个法向量.设CE与平面ABC所成角的为,.故CE与平面ABC所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理以及空间向量的数量积求线面角，要证面面垂直，需证线面
13、垂直，此题属于中档题.19中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备.某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人.这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试，结果如下表所示：分数人数20551057050参加自主招生获得通过的概率0.90.80.60.50.4（1）填写列联表，并画出列联表的等高条形图，并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程没有学习大学先修课程总计（2）已知今年有150名学生报名学习大学先修课程，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率；设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为，求.参考数据：0.150.100.050.0250.010
