《2020届湖南省长沙市高三上学期第3次月考数学（理科）试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届湖南省长沙市高三上学期第3次月考数学（理科）试题（解析版）（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、雅礼中学2020届高三月考试卷（三）数学（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若复数满足（其中i是虚数单位），则（ ）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】对复数进行化简变形，即可得解.【详解】由题：，.故选：A【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及乘法运算和除法运算，求复数的模长.2. 下列命题中，真命题是（ ）A. B. 的充要条件是C. 若D. 若，且，则至少有一个大于1【答案】D【解析】试题分析：A假；
2、C假；无意义，C假，故选D.考点：命题的真假3.已知，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合中间值1,0进行比较.【详解】由题：，所以.故选：C【点睛】此题考查指数对数的大小比较，关键在于熟练掌握指数函数和对数函数的性质，根据单调性结合特殊值进行比较.4.中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊自然通讯在线发表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月
3、球后，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行.若用和分别表示椭圆轨道和的焦距，用和分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：；.其中正确的式子的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据图形关系分析，辨析为平方处理，结合即可得到离心率的关系.【详解】由图可知：所以，所以不正确；在椭圆轨道中可得：，椭圆轨道中可得：，所以，所以正确；，同时平方得：，所以，即，由图可得：，所以，所以错误，正确.故选：D【点睛】此题考查椭圆的几何性质，根据几何性质辨析两个椭圆a，b，c的基本关系，涉及等价变形处理
4、离心率关系.5.函数的图象大致形状为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式得函数为偶函数，计算即可得出选项.【详解】，所以为偶函数，排除CD；，排除B，故选：A【点睛】此题考查根据函数解析式选择函数图象，涉及奇偶性与特殊值的辨析，此类图象问题常用排除法求解.6.一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（ ）A. 168B. 98C. 108D. 88【答案】D【解析】【分析】由三视图可知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4，求出底面三角形的周长，利用侧面积公式与三角形
5、的面积公式计算可得答案【详解】由三视图知该几何体是直三棱柱，且三棱柱的高为4，底面是等腰三角形，三角形的底边边长为6，高为4，腰长为5，底面三角形的周长为5+5+616，几何体的表面积S264+（5+5+6）424+6488故选D【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量.7.在边长为2的正中，设，则（ ）A -2B. -1C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据平面向量线性关系表示出，结合数量积的运算量即可求解.【详解】边长为2的正中，设，所以故选：B【点睛】此题考查平面向量的基本运算，涉及线性运算和数量积运算，关键在于根据运算法则
6、准确计算求解，此类问题常用一组基底表示其余向量求解.8.在中，角，所对的边长分别为，若，则（ ）A. B. C. D. 与的大小关系不能确定【答案】C【解析】【分析】根据，求出，得出，则，结合正弦定理即可得解.【详解】由题：在中，为锐角，所以，所以，则，所以，根据正弦定理.故选：C【点睛】此题考查根据三角形三内角和的关系求解三角函数值并根据三角函数值比较角的大小，结合正弦定理比较边的大小关系.9.在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息.在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是（
7、 ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出6个数字表示的信息一共64个，该信息恰有3个0共20种情况，即可得到概率.【详解】用6个数字的一个排列（数字允许重复），所用数字只有0和1，可以表示的信息一共个，该信息恰有3个0：共有个，所以所有信息中随机取一信息，则该信息恰有3个0的概率是.故选：A【点睛】此题考查求古典概型，关键在于准确求出基本事件总数和恰有3个0包含的基本事件个数，其本质考查基本计数原理，组合的知识.10.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ）利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较
8、高；将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；已知随机变量服从正态分布，且，则.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】说法正确，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望发生改变，调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查，没有明显层次，不是分层抽样法；【详解】根据利用残差进行回归分析可得说法正确；将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差均没有变化，期望发生改变，所以说法错误；调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意
9、抽取一排的人进行调查，没有明显层次，不是分层抽样法，所以错误；已知随机变量服从正态分布，且，根据正态分布密度曲线特征则，所以正确.故选：B【点睛】此题考查回归分析，抽样方法，期望方差的性质，正态分布的特点，需要熟练掌握，统计相关概念及结论辨析和基本计算.11.关于函数有下述四个结论：是偶函数；在区间单调递减；的周期是；的最大值为2.其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据判断奇偶性，结合复合函数单调性判断，利用反证法排除.【详解】，所以为偶函数，正确；，单调递增，单调递减，单调递增，单调递减，根据复合函数单调性判断法则，均为减函数，所以在区间单调递减
10、，所以正确；假设的周期是，必有，所以，所以的周期不可能是，所以错误；假设的最大值为2，取，必然，则与矛盾，所以的最大值小于2，所以错误.故选：C【点睛】此题考查三角函数相关性质的辨析，涉及奇偶性单调性周期性的综合应用，以及利用反证法推翻命题.12.已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切且分别交双曲线的左、右两支于、两点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义结合几何性质，利用圆的切线形成的垂直关系和余弦定理构造齐次式求解.【详解】由双曲线的定义可知，在中，整理得.解得，所以双曲线的渐近线方程为.故选：C【点睛】此题考查双曲线
11、的几何特征，结合直线与圆的位置关系和余弦定理解题，求渐近线方程或离心率常用到构造齐次式解题.第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.根据下列算法语句，当输入为80时，输出的值为_.【答案】33【解析】【分析】根据算法语句得出分段函数关系即可求值.【详解】由算法语句可得，该程序的作用是：求解函数值，当时，当，所以当输入为80时，输出.故答案为：33【点睛】此题考查根据算法语句输入数值，求输出的值，关键在于读懂算法语句表达的意思.14.已知，若，成等差数列，则_
12、.【答案】4【解析】【分析】根据二项式定理求出系数，结合等差数列关系即可得解.【详解】由题：，由二项式定理可得：，成等差数列，所以，即，解得：或（舍去），所以.故答案为：4【点睛】此题考查二项式定理，根据定理求出系数，根据某几项系数成等差数列关系列方程求解.15.已知非负实数，满足，则关于的方程有实根的概率是_.【答案】【解析】【分析】根据非负实数，满足，可得有序数对表示的区域面积，根据关于的方程有实根得出限制条件，结合定积分求出面积即可得解.【详解】记区域的面积为，区域的面积为，因此.故答案为：【点睛】此题考查几何概型，属于面积型，关键在于根据关于的方程有实根得出限制条件，利用定积分准确计算
13、面积.16.在四面体中，已知，则此四面体体积的最大值是_.【答案】【解析】【分析】以平面作为锥体底面，要使体积最大，平面平面，设未知数表示出锥体体积根据函数单调性求体积最值即可.【详解】根据该锥体的几何特征，考虑平面与平面绕旋转而成的几何体，其体积等价于考虑平面与平面绕旋转而成的几何体，以平面作为锥体底面，要使体积最大，平面平面，设，取中点，连接，有，根据面面垂直的性质，平面，所以锥体体积考虑函数，函数单调递增，函数单调递减，所以所以锥体体积最大值为.故答案为：【点睛】此题考查求几何体体积，涉及变量问题考虑函数结合单调性处理.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
14、17.已知正数数列的前项和，满足（1）求的通项公式；（2）设，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）当时，又；当时，因此是以为首项为公比的等比数列；（2）令，利用错位相减法求得试题解析： （1）当时，又，所以；当时，所以，因此是以为首项为公比的等比数列，故（2）令，则，两式相减得，所以考点：1、数列的通项公式；2、数列前项和；3、错位相减法.18.如图，已知是半径为2的半球的直径，为球面上的两点且，（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）作于点，连，由勾股定理及三角形全等得，根据线面垂直的判定定理得平面，进而可得结果；（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式
