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1、演绎推理是证明数学结论 建立数学体系的重要思维过程 数学结论 证明思路的发现 主要靠合情推理 复习 高二数学选修2 2第二章推理与证明 2020 6 6 孝高蒋志方 2 2 2直接证明与间接证明 2 2 1综合法和分析法 例 已知a 0 b 0 求证a b2 c2 b c2 a2 4abc 因为b2 c2 2bc a 0所以a b2 c2 2abc 又因为c2 b2 2bc b 0所以b c2 a2 2abc 因此a b2 c2 b c2 a2 4abc 证明 在数学证明中 我们经常从已知条件和某些数学定义 定理 公理 性质等出发通过推理导出所要的结论 综合法 由因导果 从命题的条件出发 利用
2、定义 公理 定理及运算法则 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 又称顺推证法 注 用P表示已知条件 已有的定义 定理 公理等 Q表示所要证明的结论 则综合法可用框图表示为 例1 在 中 三个内角 对应的边分别为a b c 且 成等差数列 a b c成等比数列 求证 为等边三角形 分析 把题中的文字语言转化为符号语言 A C 2B b2 ac 由 1 联想到内角各能得到什么 由 2 联想到三角形什么知识 余弦定理 二者联系起来能得到什么结论 证明 由A B C成等差数列 有 2B A C 由 得 由a b c成等比数列 有 由余弦定理及 可得 再由 得 因此 a c 从而有A C
3、 由 得 例2 ABC三边长 的倒数成等差数列 求证 证明 因为a b c为 ABC三边 所以a c b 所以cosB 0 因此 例 求证不等式 注 从求证的结论出发 逐步寻求使结论成立的条件 2 分析法 从证明的结论出发 逐步寻求使它成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知 定理 定义 公理等 这种证明的方法叫做分析法 又称倒推证法 执果索因 注 用Q表示所要证明的结论 则分析法可用框图表示为 得到一个明显成立的条件 证法1 对于正数a b 有 综合法 分析法 表达简洁 目的性强 易于探索 分析法 从结论出发 寻找结论成立的充分条件直至最后 把要证明的结论归
4、结为判定一个明显成立的条件 要证 只要证 只需证 显然成立上述各步均可逆所以结论成立 格式 解 要证 只需证 展开 只需证 只需证21 25 因为21 25成立 所以成立 练习 求证 证法一 为了证明 成立 因为 所以只需证明 成立 展开得 即 因为 成立 所以 成立 证法二 例3 设a b c为一个三角形的三边 且s2 2ab 试证 s 2a 解 欲证s 2a 只需证 即证b s 也即证 即证b a c 因为a b c为一个三角形的三边 所以b a c成立 故s 2a成立 用P表示已知条件 定义 定理 公理等 用Q表示要证的结论 则上述过程可用框图表示为 四 综合应用 在解决问题时 我们经常把综合法和分析法结合起来使用 即两面夹攻 根据条件结构特点去转化结论 得到中间结论Q 根据结论的结构特点去转化条件 得到中间结论P 若P可以推出Q 就可以证明结论成立 分析 证明式中没有 因此我们要将 消掉 如何消掉 而且在条件中只有弦 而在证明结果里面只有切 因此我们要弦化切 证明 3 由于上式与 相同 于是问题得证 直接证明 回顾小结 分析法解题方向比较明确 利于寻找解题思路 综合法条理清晰 易于表述 通常以分析法寻求思路 再用综合法有条理地表述解题过程 分析法综合法 概念 六 课堂小结 巩固练习
