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1、东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2020届高三数学第二次模拟试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题.在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解不等式得到集合，再根据题中条件，即可判断出与之间关系.【详解】由得或，故或，又，所以.故选D【点睛】本题主要考查集合之间的关系，熟记概念即可，属于基础题型.2.已知（为虚数单位），则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先将式子化为，再由复数的除法运算即可得出结果.【详解】因为，所以，故.故选C【点睛】本题主要考查
2、复数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.3.圆与圆的公切线共有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】D【解析】【分析】把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较圆心距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而可以判断出有几条公切线。【详解】 圆心坐标为（2，0）半径为2； 圆心坐标为，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3，因为43,所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条。故本题选D.【点睛】本题重点考查了圆与圆的位置关系的判定、公切线的条数。解决的方法就是利用圆的标准方程求出圆心坐标以及半径，比较圆心距与两圆半径和差的关系。4.将一
3、枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2次正面朝上，1次反面朝上”的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】此问题相当于进行3次独立重复试验恰好发生2次正面朝上的概率。【详解】将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2次正面朝上，1次反面朝上”的概率是.故本题选B。【点睛】本题考查了n次独立重复试验恰好发生k次的概率。5.已知是第三象限角，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由诱导公式可以求出角的正弦值，再由同角的正弦值与余弦值的平方和为1这一关系，可求出的余弦值，最后运用二倍角正弦公式求出。【详解】 ， 是第三象限角 故本题选A。【点睛】本题考查了三
4、角函数的诱导公式、同角正弦函数与余弦函数的关系、二倍角公式。6.已知菱形的边长为2，点，分别为，的中点，则（ ）A. 3B. 1C. D. 【答案】D【解析】【分析】先确定一组基底，利用向量加法运算法则，用这对基底把表示出来，然后进行数量积计算。【详解】点为的中点 所以;点F为CD的中点，所以, = =因为菱形的边长为2,所以,又因为，运用数量积公式，可求=故本题选D。【点睛】本题考查了向量的数量积运算、向量的加法运算、菱形的几何性质。7.四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】连接交于点，连接，证明平面，进而可得到即是直线
5、与平面所成角，根据题中数据即可求出结果.【详解】连接交于点，因为平面，底面是正方形，所以，因此平面；故平面；连接，则即是直线与平面所成角，又因，所以，.所以，所以.故选A【点睛】本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于常考题型.8.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且，则的一个可能值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由题意写出解析式，根据可知为奇函数，进而可求出.【详解】由题意可得，又，所以为奇函数，因此，故，所以，所以可以取.故选A【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，以及三角函数的性质，熟记正弦型函数的性质即可，属于常考题型.
6、9.双曲线：，分别为其左，右焦点，其渐近线上一点满足，线段与另一条渐近线的交点为，恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意得到双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，；不妨令在渐近线上，则在上，设，根据题意求出点坐标，再得到的坐标，将坐标代入直线，即可得出结果.【详解】由题意得双曲线：的渐近线方程为，；不妨令在渐近线上，则在上，设，由得，即，解得，所以，又恰好为线段的中点，所以，因在上，所以，因此，故离心率为2.故选B【点睛】本题主要考查双曲线的斜率，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.10.已知函数，若，则（ ）A. -4B. -3
7、C. -2D. -1【答案】C【解析】【分析】先由得到，进而可求出结果.【详解】因为，所以，因此；又，所以.故选C【点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质，熟记函数奇偶性即可，属于常考题型.11.已知三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先在长方体中还原该三棱锥为，根据三棱锥底面外接圆圆心确定外接球球心位置，设球的半径为，列出方程即可求出结果.【详解】根据三视图，在长方体中还原该三棱锥为，且长方体的底面边长为2，高为；取中点为，上底面中心为，连接，则，因为三角形为直角三角形，所以点为三角形的外接圆圆心，因此三棱锥的外接球球心，必在线段
8、上，记球心为，设球的半径为，则，所以有，因此，解得，所以该三棱锥的外接球表面积为.故选C【点睛】本题主要考查几何体的三视图以及几何体外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型.12.定义区间，的长度为.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为（其中，为自然对数的底数），那么称这个函数为“函数”.下列四个命题：函数不是“函数”；函数是“函数”，且；函数是“函数”；函数是“函数”，且.其中正确的命题的个数为（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】【分析】利用导数、函数的图象，对四个命题逐一判断出真假。【详解】分析命题： 定义域为，函数在上是单调递增，显然这个区间没有长度
9、，因此函数不是“函数”，故命题是真命题。分析命题：，定义域为， 当时，函数是增函数， 构造两个函数，图象如下图所示：通过图象可知当，而，即， ，所以当时，函数是增函数，增区间的长度为，又因为显然有成立，所以函数是“m函数”， 即成立，故命题是真命题。分析命题： 函数 定义域为， 显然时，此时函数是单调递增函数，增区间为，而区间没有长度，故函数不是“函数”，故命题是假命题。分析命题：函数 定义域，当时，是增函数，故只需成立，是增函数，也就是成立，是增函数，构造二个函数， 如下图所示：通过图象可知：当时，而，所以。从而有时，时，函数是增函数，显然区间长度为，而所以函数是“函数”，又，即。故命题是真
10、命题。综上所述：正确的命题的个数为3个，故本题选B。【点睛】本题考查了利用函数的导数、函数的图象找函数增区间的数学能力。重点考查了学生阅读能力、知识的迁移能力、数形结合的数学思想。二、填空题（本题共4小题）13.函数，则_【答案】【解析】【分析】根据解析式，由内向外逐步代入即可得出结果,【详解】由题意，所以.故答案为【点睛】本题主要考查求函数值，分段函数中的求函数值问题是比较常见的一种题型，属于基础题.14.已知，满足约束条件，则的最大值为_【答案】3【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，求出各直线的交点，通过分析能求出目标函数的最大值。【详解】根据约束条件可以画出可行域，如下图所示：由，
11、 可知直线过A(1,0)时，有最大值为。【点睛】本题考查了线性归划问题。解决此类问题的关键是画出可行域，然后根据目标函数的几何意义求出最值。15.设的内角，的对边分别为，且，则_【答案】【解析】【分析】先由正弦定理得，得到，再由余弦定理得，即可求出结果.【详解】因为，由正弦定理可得，即，解得；又由余弦定理得，因此，解得.故答案为【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型.16.以抛物线焦点为圆心，为半径作圆交轴于，两点，连结交抛物线于点（在线段上），延长交抛物线的准线于点，若，且，则的最大值为_【答案】32【解析】【分析】先由题意，得到以为圆心，为半径的圆的方程，再
12、令为轴正半轴上的点，从而求出点坐标，得到直线的方程，分别与抛物线的准线方程、抛物线方程联立求出两点坐标，即可用表示出，再由，且，求出的范围，即可得出结果.【详解】由题意可得抛物线的焦点为，准线方程为，所以以为圆心，为半径的圆的方程为，因为，两点为圆与轴的两个交点，不妨令为轴正半轴上的点，由得，；所以直线的斜率为，因此直线的方程为，由得；由得，所以，又，且，所以，即，因此，当且仅当时，取等号.故答案为【点睛】本题主要考查抛物线的性质，通常需要联立直线与抛物线方程等求解，属于常考题型.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知是数列的前项和，等比数列的公比为4，且.（）求数列
13、，的通项公式；（）求数列的前项和.【答案】（），（）【解析】【分析】（）已知求，可以用公式来进行求解，求完要检验能不能统一为一个式子表达。由的通项公式，可以求出，也就能求出，又已知公比，就可以求出的通项公式。（）可以利用错位相减法求数列的前项和.【详解】解：（）当时，当时，满足上式，综上，.，.（）， ，.【点睛】本题考查了由前n项和公式，通过递推，得到数列通项公式的求法。重点考查了用错位相减法，求一个等差数列乘以一个等比数列构成的数列的前n项和。18.如图，直三棱柱中，点是棱的中点，.（）求证：平面；（）求点到平面的距离.【答案】（）见证明；（）【解析】【分析】（）要想证明平面，只需证明与平
14、面内的一条直线平行即可。（）求点到平面的距离可以采用等积法来求解，利用，进行求解。【详解】解：（）证明：连接，交于点，则为中点，连接，又是中点，平面，平面，平面.（）解：由已知，取中点，则，平面，平面，平面.又， .，则点到平面的距离为.【点睛】本题考查了线面平行的证法，一般有二种方法：一种是证明线线平行；一种是证明面面平行。同时本题也重点考查了点到面的距离的求解，如果直接法困难时，往往采用等积法来求解。19.一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243，263，241，265，255
