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1、函数专题(一)1已知函数(1)判断函数的奇偶性;(2)若在区间是增函数,求实数的取值范围。解析: (1)当时,为偶函数;当时,既不是奇函数也不是偶函数.(2)设,由得,要使在区间是增函数只需,即恒成立,则。另解(导数法):,要使在区间是增函数,只需当时,恒成立,即,则恒成立,故当时,在区间是增函数。2. 已知函数 (I)求函数的单调增区间; (II)若函数的值。解:(I)由题意, 1分当 3分当 5分 (II)由(I)可知,若上为增函数,(舍去)。 7分若上为减函数,(舍去)。 9分若上为减函数,综上所述, 12分3. 已知f(x)=ex-ax-1.(1)求f(x)的单调增区间;(2)若f(x
2、)在定义域R内单调递增,求a的取值范围;(3)是否存在a,使f(x)在(-,0上单调递减,在0,+)上单调递增?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.解:=ex-a.(1)若a0,=ex-a0恒成立,即f(x)在R上递增.若a0,ex-a0,exa,xlna.f(x)的单调递增区间为(lna,+).(2)f(x)在R内单调递增,0在R上恒成立.ex-a0,即aex在R上恒成立.a(ex)min,又ex0,a0.(3) 由题意知ex-a0在(-,0上恒成立.aex在(-,0上恒成立.ex在(-,0上为增函数.x=0时,ex最大为1.a1.同理可知ex-a0在0,+)上恒成立.aex在0,+)上
3、恒成立.a1,a=1.4. 已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由;(3)证明:f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.(1)解 由已知=3x2-a,f(x)在(-,+)上是单调增函数,=3x2-a0在(-,+)上恒成立,即a3x2对xR恒成立.3x20,只需a0,又a=0时,=3x20,故f(x)=x3-1在R上是增函数,则a0.(2)解 由=3x2-a0在(-1,1)上恒成立,得a3x2,x(-1,1)恒成立.-1x1,3x23,只需a3.当a=3时,=3(x2-1),在x(-1,1)上,0,即f(x)在(-1,1)上为减函数,a3.故存在实数a3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.(3)证明 f(-1)=a-2a,f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方.