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1、9-3空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固强化1.已知E、F、G、H是空间内四个点，条件甲：E、F、G、H四点不共面，条件乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析点E、F、G、H四点不共面可以推出直线EF和GH不相交；但由直线EF和GH不相交不一定能推出E、F、G、H四点不共面，例如：EF和GH平行，这也是直线EF和GH不相交的一种情况，但E、F、G、H四点共面故甲是乙成立的充分不必要条件2(文)(2020浙江文，4)若直线l不平行于平面，且l，则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C内存在唯一
2、的直线与l平行D内的直线与l都相交答案B解析由题意知直线l与平面相交，不妨设直线lM，对A，在内过M点的直线与l不异面，A错误；对B，假设存在与l平行的直线m，则由ml得l，这与lM矛盾，故B正确，C错误；对D，内存在与l异面的直线，故D错误综上知选B.(理)a、b、c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面B若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交C若ab，则a、b与c所成的角相等D若ab，bc，则ac答案C解析如图(1)知A错；如图(2)知B错；如图(3)知D错在直线c上任取一点P，过P作直线ma，则mb，因此a，b与c所成的角都等于
3、m与c所成的角，故选C.3(文)(2020威海质检)已知直线l、m，平面，且m，则lm是l的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案D解析由lm可知l或l，所以“lm”不是“l”的充分条件，l且m，则直线lm或直线l与m异面，所以“lm”也不是“l”的必要条件，故选D.(理)已知直线l平面，直线m平面，则是lm的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若，则由l知l，又m，可得lm；若与相交(如图)，设n，当mn时，由l可得lm，而此时与不平行于是是lm的充分不必要条件故选A.4平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与
4、AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A3B4C5D6答案C解析如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面，也与CC1共面的棱为BC、C1D1、DC、AA1、BB1，共5条5(2020武汉市模拟)空间中一条线段AB的三视图中，俯视图是长度为1的线段，侧视图是长度为2的线段，则线段AB的长度的取值范围是()A(0,2 B2，C2,3 D2，答案B解析以线段AB为体对角线构造长方体，设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则由题意知，AB2x2y2z25y2，x20，1y20，0y21，4AB25，2AB.特别地，当AB为面对角线时，AB2或成立，2AB.6如图是正方体或四面体，P、Q
5、、R、S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()答案D解析A中，PSQR；B中如图可知此四点共面；C中PSQR；D中RS在经过平面PQS内一点和平面PQS外一点的直线上，故选D.7(2020金华模拟)在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则使直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)答案解析图中，直线GHMN；图中，G、H、N三点在三棱柱的侧面上，MG与这个侧面相交于G，M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G、M、N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面所以图、中GH与MN异面8(文)(20
6、20南京模拟)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，AC，AA13，M为线段BB1上的一动点，则当AMMC1最小时，AMC1的面积为_答案解析将三棱柱的侧面A1ABB1和B1BCC1以BB1为折痕展平到一个平面上，在平面内AC1与BB1相交，则交点即为M点，易求BM1，AM，MC12，又在棱柱中，AC1，cosAMC1，AMC1120，SAMC1AMMC1sinAMC12.(理)在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ACBC，PAACBC，则直线PC与AB所成角的大小是_答案60解析分别取PA、AC、CB的中点F、D、E连接FD、DE、EF、AE，则FDE是直线PC与AB所成角或其
7、补角设PAACBC2a，在FDE中，易求得FDa，DEa，FEa，根据余弦定理，得cosFDE，所以FDE120.所以PC与AB所成角的大小是60.9一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_答案解析由三视图知，该几何体是一个四棱柱，底面为直角梯形，上底长1，下底长2，高为1，其面积S(12)1，侧棱垂直于底面，侧棱长为1，体积V1.10(文)(2020福建四地六校联考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.(1)证明：PA平面EDB；(2)证明：PB平面EFD.证明(1)连接AC交BD于O，连接EO.底面
8、ABCD是矩形，点O是AC的中点又E是PC的中点，在PAC中，EO为中位线，PAEO.而EO平面EDB，PA平面EDB.PA平面EDB.(2)由PD底面ABCD得PDBC.底面ABCD是矩形，DCBC，BC平面PDC，而DE平面PDC，BCDE.PDDC，E是PC的中点，DEPC.由和得DE平面PBC.PB平面PBC，DEPB.又EFPB，且DEEFE，PB平面EFD.(理)如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
9、(3)设ABBE，证明：平面ADE平面CDE.解析解法一：(1)由题设知，FGGA，FHHD，所以GH綊AD.又BC綊AD，故GH綊BC，所以四边形BCHG是平行四边形(2)C、D、F、E四点共面理由如下：连接EG，由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EFBG，由(1)知BGCH，所以EFCH，故EC、FH共面又点D直线FH上，D平面CEF.所以C、D、F、E四点共面(3)由ABBE，BE綊AG，及BAG90知ABEG是正方形，故BGEA.由题设知，FA、AD、AB两两垂直，故AD平面FABE，因此EA是ED在平面FABE内的射影，BGED.又ECEAE，所以BG平面ADE.由(1
10、)知，CHBG，所以CH平面ADE.由(2)知F平面CDE，故CH平面CDE，得平面ADE平面CDE.解法二：由题设知，FA、AB、AD两两互相垂直如图，以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系Axyz.(1)设ABa，BCb，BEc，则由题设得A(0，0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)，D(0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)，H(0，b，c)，F(0,0,2c)所以，(0，b,0)，(0，b,0)，于是.又点G不在直线BC上，所以四边形BCHG是平行四边形(2)C、D、F、E四点共面理由如下：由题设知，F(0,0,2c)，所以(a,0，c)，(
11、a,0，c)，又CEF，HFD，故C、D、F、E四点共面(3)由ABBE，得ca，所以(a,0，a)，(a,0，a)又(0,2b,0)，因此0，0即CHAE，CHAD，又ADAEA，所以CH平面ADE.故由CH平面CDFE，得平面ADE平面CDE.点评如果所给问题中存在两两垂直的直线交于一点，容易将各点的坐标表示出来时，可用向量法求解如果其所讨论关系不涉及求角，求距离或所求角、距离比较容易找(作)出时，可不用向量法求解.能力拓展提升11.(文)(2020北京市西城区模拟)正方体ABCDA1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有()A3条 B4条C6条 D8条答案C解析在正方体ABCDA1B1
12、C1D1中，与对角线AC1有公共点A的和有公共点C1的各有3条，其余6条所在正方体的面与AC1均相交，且交点不在这些棱上，由异面直线判定定理知，这6条与AC1都异面，故选C.(理)已知a、b、c是相异直线，、是相异平面，下列命题中正确的是()Aa与b异面，b与c异面a与c异面Ba与b相交，b与c相交a与c相交C，Da，b，与相交a与b相交答案C解析如图(1)，正方体ABCDA1B1C1D1中，a、b、c是三条棱所在直线满足a与b异面，b与c异面，但acA，故A错；同样在图(2)的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故B错；如图(3)，c，ac，则a与b不相交，故D错12(文)
13、(2020四川文，6)l1、l2、l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1、l2、l3共面Dl1、l2、l3共点l1、l2、l3共面答案B解析举反例，由教室内共点的三条墙角线可知A、D是错误的；由三棱柱的三条侧棱可知C是错误的故选B.(理)(2020浙江省嘉兴市高三教学测试)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1、CD1的中点，则下列判断错误的是()AMN与CC1垂直BMN与AC垂直CMN与BD平行DMN与A1B1平行答案D解析由于C1D1与A1B1平行，MN与C1D1是异面直线，所以MN与A1B1是异面直线，故选项D错误点评取CD中点Q，BC中点R，则NQ綊D1D，MR綊CC1，CC1綊D1D，NQ綊MR，MNQR，QRBD，ACBD，ACMN，B正确；MNQR，QRBD，MNBD，C正确；CC1平面
