《2020高三数学一轮复习《函数、导数及其应用》单元练习题 新人教版（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高三数学一轮复习《函数、导数及其应用》单元练习题 新人教版（通用）（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、20202020 版高三数学一轮精品复习学案 函数 导数及其应用版高三数学一轮精品复习学案 函数 导数及其应用 2 72 7 导导 数数 高考目标定位 一 变化率与导数 导数的计算 1 考纲点击 1 了解导数概念的实际背景 2 理解导数的几何意义 3 能根据导数定义求函数 y c y x y x2 y x3 y 的导数 1 x yx 4 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 能求简单的 复合函数 仅限于形如 f ax b 的复合函数 的导数 2 热点提示 1 导数的几何意义是高考考查的重点内容 常以选择题 填空题的形式出现 有时也出现在解答 题中 2 导数的运
2、算每年必考 一般不单独考查 在考查导数应用研究的同时考查导数的运算 二 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题 1 考纲点击 1 了解函数单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其中多 项式函数一般不超过三次 2 了解函数在某点取得极值域的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 其中 多项式函数一般不超过三次 会求闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数一般不超过三次 3 会利用导数解决某些实际问题 2 热点提示 1 在高考中 重点考查利用导数研究函数的单调性 求单调区间 极值 最值 以及利用导数解 决生活中的优化问题 有时在导数与解析几何 不等式
3、 平面向量等知识交汇点处命题 2 多以解答题的形式出现 属中 高档题目 考纲知识梳理 一 变化率与导数 导数的计算 1 函数 y f x 从 x1到 x2的平均变化率 函数 y f x 从 x1到 x2的平均变化率为 若 则平均 21 21 f xf x xx 21 xxx 21 yf xf x 变化率可表示为 y x 2 函数 y f x 在 x x0处导数 1 定义 称函数 y f x 在 x x0处的瞬时变化率 为 y f x 在 x x0处导数 记作 00 00 limlim xx f xxf xy xx 0 00 00 00 limlim x x xx f xxf xy fxyfx
4、xx 或即 2 几何意义 函数 f x 在点 x 处的导数的几何意义是在曲线 y f x 上点 处的切线的斜率 0 fx 0 x 0 fx 相应地 切线方程为 y y0 x x0 0 fx 3 函数 f x 的导数 称函数为函数 f x 的导函数 导函数有时也记作 0 lim x f xxf x fx x y 注 求函数 f x 在 x x0处的导数的方法 方法一 直接使用定义 0 00 0 lim x f xxf x fx x 方法二 先求导函数 再令 x x0求 0 lim x f xxf x fx x 0 fx 4 基本初等函数的导数公式 5 导数运算法 导数运算法则 函数导数 yc 0
5、y n yf xxnQ 1 n ynx sinyx cosyx cosyx sinyx x yf xa ln 0 x yaa a x yf xe x ye logaf xx 1 01 ln fxaa xa 且 lnf xx 1 fx x 1 f xg xfxg x 2 f xg xfx g xf x g x 3 2 0 f xfx g xf x g x g x g x g x 6 复合函数的导数 复合函数的导数和函数 的导数间的关系为 即对 yf g x yf u ug x xux yy u Ay 的导数等于对的导数与对的导数的乘积 xyuux 二 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题 1
6、 函数的单调性与导数 在某个区间 a b 内 如果 那么函数在这个区间内单调递增 如果 0fx yf x 0fx 那么函数在这个区间内单调递减 如果 那么函数在这个区间上是常数函数 yf x 0fx yf x 注 函数在 a b 内单调递增 则 是在 a b 内单调递 yf x 0fx 0fx yf x 增的充分不必要条件 2 函数的极值与导数 1 曲线在极值点处切线的斜率为 0 并且 曲线在极大值点左侧切线的斜率为正 右侧为负 曲线 在极小值点左侧切线的斜率为负 右侧为正 一般地 当函数 f x 在点 x0 处连续时 判断 f x0 是极大 小 值的方法是 1 如果在 x0附近的左侧 f x
7、 0 右侧 f x 0 那么 f x0 是极大值 1 如果在 x0附近的左侧 f x 0 那么 f x0 是极小值 注 导数为 0 的点不一定是极值点 3 函数的最值与导数 函数 f x 在 a b 上有最值的条件 如果在区间 a b 上函数的图象是一条连续不断的曲线 那么它必有最大值和最小值 yf x 4 生活中的优化问题 解决优化问题的基本思路是 优化问题用函数表示的数学问题 用导数解决函数问题 优化问题答案 热点 难点精析 一 变化率与导数 导数的运算 一 利用导数的定义求函数的导数 1 相关链接 1 根据导数的定义求函数在点处导数的方法 yf x 0 x 求函数的增量 00 yf xx
8、f x 求平均变化率 00 f xxf xy xx 得导数 简记作 一差 二比 三极限 0 0 lim x y fx x 2 函数的导数与导数值的区间与联系 导数是原来函数的导函数 而导数值是导函数在某一点的 函数值 导数值是常数 2 例题解析 例 1 求函数 y 2 4 x 的导数 解析 22 2 4 xxx xx x y 00 limlim xx x y 22 2 4 xxx xx 3 8 x 例 2 一质点运动的方程为 2 83st 1 求质点在 1 1 t 这段时间内的平均速度 2 求质点在 t 1 时的瞬时速度 用定义及求求导两种方法 分析 1 平均速度为 s t 2 t 1 时的瞬
9、时速度即在 t 1 处的导数值 2 83st 解答 1 2 83st s 8 3 1 t 2 8 3 12 6 t 3 t 2 63 s vt t 2 定义法 质点在 t 1 时的瞬时速度 00 limlim 63 6 tt s vt t 求导法 质点在 t 时刻的瞬时速度 当 t 1 时 v 6 1 6 2 83 6vs ttt 注 导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系 对位移 s 与时间 t 的关系式求导 可得瞬时速度与时间 t 的关系 根据导数的定义求导数是求导数的基本方法 诮按照 一差 二比 三极 限 的求导步骤来求 二 导数的运算 1 相关链接 1 运用可导函数求导
10、法则和导数公式 求函数在开区间 a b 内的导数的基本步骤 yf x 分析函数的结构和特征 yf x 选择恰当的求导法则和导数公式求导 整理得结果 2 对较复杂的函数求导数时 诮先化简再求导 特别是对数函数真数是根式或分式时 可用对数 的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便 3 复合函数的求导方法 求复合函数的导数 一般是运用复合函数的求导法则 将问题转化为求基本函数的导数解决 分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的 适当选定中间变量 分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导 而其中特别要注意的是中间变量 根据基本函数的导数公式及导数的运算法则 求出各函数的导数 并把中间变量
11、转换成自变量的函 数 复合函数的求导熟练以后 中间步骤可以省略 不必再写出函数的复合过程 2 例题解析 例 1 求 11 3 2 xx xxy 的导数 2 求 1 1 1 x xy 的导数 3 求 2 cos 2 sin xx xy 的导数 4 求 y x x sin 2 的导数 5 求 y x xxxx953 2 的导数 分析 先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成 求导时 可设出中间变量 注 意要逐层求导不能遗漏 每一步对谁求导 不能混淆 解 1 2 3 1 1 x xy 2 3 3 2 x xy 2 先化简 2 1 2 1 1 11 xx x x x xy 1 1 2 1
12、 2 1 2 1 2 3 2 1 xx xxy 3 先使用三角公式进行化简 xx xx xysin 2 1 2 cos 2 sin cos 2 1 1 sin 2 1 sin 2 1 xxxxxy 4 y x xxxx 2 22 sin sin sin x xxxx 2 2 sin cossin2 5 y 2 3 3x x 2 1 9 x y x 2 3 x 2 1 x 2 3 2 1 x 2 1 2 3 x 1 1 1 2 9 2 x x 三 导数的几何意义 例 已知曲线 3 14 33 yx 1 求曲线在点 P 2 4 处的切线方程 2 求曲线过点 P 2 4 的切线方程 3 求斜率为 4
13、 的曲线的切线方程 分析 切点坐标切线斜率点斜式求切线方程 解答 1 上 且 2 4 P 在曲线 3 14 33 yx 2 yx 在点 P 2 4 处的切线的斜率 k 4 2 xy 曲线在点 P 2 4 处的切线方程为 y 4 4 x 2 即 4x y 4 0 2 设曲线与过点 P 2 4 的切线相切于点 A x0 则切线的斜率 3 14 33 yx 3 0 14 33 x 切线方程为 即 0 2 0 x xkyx y 3 0 14 33 x 2 0 xx 0 x 23 00 24 33 yxxx A 点 P 2 4 在切线上 4 2 即 2 0 x 3 0 24 33 x 32 00 340
14、 xx 322 000 440 xxx x0 1 x0 2 2 0 解得 x0 1 或 x0 2 故所求的切线方程为 4x y 4 0 或 x y 2 0 3 设切点为 x0 y0 则切线的斜率为 k x02 4 x0 2 切点为 2 4 2 4 3 切线方程为 y 4 4 x 2 和 y 4 3 4 x 2 即 4x y 4 0 和 12x 3y 20 0 注 1 解决此类问题一定要分清 在某点处的切线 还是 过某点的切线 2 解决 过 某点的切线 问题 一般是设出切点坐标解决 二 导数在函数中的应用与生活中的优化问题举例 一 函数的单调性与导数 1 相关链接 1 求可导函数单调区间的一般步
15、骤和方法 确定函数 f x 的定义域 求 f x 令 f x 0 求出它们在定义域内的一切实根 把函数 f x 的间断点 即 f x 无定义点 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数 f x 的定义区间分成若干个小区间 确定 f x 在各个开区间内的符号 根据 f x 的符号判定函数 f x 在每个相应小开区间内的 增减性 注 当 f x 不含参数时 也可通过解不等式 f x 0 或 f x 0 时为增函数 f x 0 时为减函数 3 已知函数的单调性 求参数的取值范围 应注意函数 f x 在 a b 上递增 或递减 的充要 条件应是 f x 0 或 f x 0
16、x a b 恒成立 且 f x 在 a b 的任意子区间内都不恒 等于 0 这就是说 函数 f x 在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有 f x 0 甚至可以在无 穷多个点处 f x0 0 只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间 2 例题解析 例 安徽 合肥 168 中高三段考 理 本小题满分 13 分 已知函数 2 47 2 x f x x 01x 求 f x 的单调区间和值域 设 1a 函数 22 3201g xxa xax 若对于任意 1 01x 总存在 0 01x 使得 01 g xf x 成立 求a的取值范围 解 对函数 f x 求导 得 2 2 4167 2 xx fx x 2 2127 2 xx x 令 0fx 解得 1 1 2 x 或 2 7 2 x 当x变化时 fx f x 的变化情况如下表 x 0 1 0 2 1 2 1 1 2 1 fx 0 f x 7 2 4 3 所以 当 1 0 2 x 时 f x 是减函数 当 1 1 2 x 时 f x 是增函数 当 01x 时 f x 的值域为 43 对函数 g x 求导 得 22 3gxxa 因此 1a 当
