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1、2020年高考热点内容预测与分析(4)圆锥曲线与方程一、 本部分在高考的地位和作用圆锥曲线是解析几何的核心内容，是中学数学的重点、难点，是高考命题的热点之一，也是高考常见新颖题的板块,各种解题方法在本章得到了很好的体现和充分的展示,尤其是在最近几年的高考试题中,平面向量与解析几何的融合,提高了题目的综合性,形成了题目多变,解法灵活的特点,充分体现了高考中以能力立意的命题方向。二、本部分近几年来高考试题统计分析2020年文科山东江苏广东海南、宁夏椭圆22/14；15/5；19/14；双曲线3/5；13/5；抛物线9/5；19/14；11/5；7/5；理科山东江苏广东海南、宁夏椭圆21/12；15
2、/5；18/14；19/12；双曲线3/5；13/5；抛物线13/4；19/14；11/5；6/5；2020年文科山东江苏广东海南、宁夏椭圆22/14；12/5；20/14；15/5；双曲线13/4；2/5；抛物线20/14；理科山东江苏广东海南、宁夏椭圆10/5；12/5；18/14；20/12；双曲线10/5；14/5；抛物线22/14；18/14；11/5；2020年理科山东海南江苏广东天津浙江辽宁福建安徽椭圆2214201213511521142115201219142013双曲线95459516535抛物线9513522101914952115134文科山东海南江苏广东天津浙江辽宁福
3、建安徽椭圆2214201213519142214652212221812双曲线454565抛物线10514522102215根据2020年新课标的考试大纲，并结合近年高考试题，可以发现新课标高考对本部分的考查有这样一些特点：1. 每年都有一道客观题，一道解答题，分值在19分左右；2.考查的内容形式，客观题主要考查圆锥曲线的概念、标准方程、几何性质等基础知识，考题所在的位置一般在第9题之后；解答题中的圆锥曲线一般以压轴题的形式出现（特别是山东），仍以直线与圆锥曲线的位置关系问题为载体，常常与圆、函数、方程、不等式、数列、向量等知识相交汇，形成综合问题，这类问题常常是视角新，情境新。多涉及圆锥曲线
4、中的轨迹问题、定值问题、最值问题、范围问题等，用来考查学生综合运用知识去分析问题和解决问题的能力，从考查的难度看，题目多以中高档题为主。3. 解析几何内综合，不管客观题还是解答题，每道题所考查的知识点都不是单一的，从近年圆锥曲线试题可以看出除了考查直线与圆锥曲线的位置关系，还涉及到直线与圆，曲线与曲线的位置关系，特别是2020年山东文科卷22题、2020年山东的理科卷22题都考查直线、圆、椭圆的基础知识及其应用，圆与椭圆的综合是近年高考试题的一大亮点，综合考查解析几何的内容。4根据考纲的要求，理科对椭圆、抛物线的概念、标准方程、几何性质的要求是掌握的内容，对双曲线是了解的内容；文科只对椭圆是掌
5、握的内容，对双曲线、抛物线是了解的内容。因此，从高考试题统计表也可以看出这一点，椭圆是高考必考的内容，其次是抛物线，考的最少的是双曲线。三、本部分明年高考预测预测2020年高考对本模块的考查为：1.继续保持一道客观题，一道解答题题型格局。2.结合我省当前的形势，试题的难度有所降低，对圆锥曲线大题的考查将是一种相对稳定的趋势，客观题仍主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等基础知识.解答题继续以直线与椭圆的位置关系为载体考查圆锥曲线中的综合问题，但要注意两种圆锥曲线方程混合背景下的椭圆几何性质的求解问题。3.结合其他省市的高考试题命题特点，轨迹问题、最值（取值范围）问题、特别是圆的问题应引起
6、足够的重视，对用向量语言描述的条件要多加注意（文科应重视圆的综合问题，理科应重视运用向量证明共线问题）。四、备考策略对圆锥曲线的复习，首先要做到“基础知识熟练化，基本问题准确化”，在此基础上掌握解题技能技巧，注重数学思想方法。（一） 要重点掌握圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等基础知识和基本应用1. 椭圆是要求掌握的内容，是高考的重点，是高考必考的内容。（1）要重视概念的复习及应用，只要涉及到椭圆上的点到焦点的问题（焦点三角形），要联想到定义，且注意正、余弦定理的使用。例1.（2020广东，11）巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方
7、程为 【解析】，则所求椭圆方程为.（人教A版选修2-1第48页练习题3（1）题：焦点在轴上，求椭圆方程）（2）椭圆的性质：椭圆中有“两线”（两条对称轴），“六个点”（两个焦点、四个顶点），“两形”（椭圆上的点与两个焦点构成焦点三角形，周长为；一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，有），注意他们之间的位置关系，重视离心率的有关计算，对焦点在轴上的椭圆，焦半径（，由）例2.（2020江苏13）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . 【解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以
8、及直线的方程。直线的方程为：；直线的方程为：。二者联立解得：，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则在椭圆上，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解得：（3）掌握以下有关“最值”的结论：设是椭圆的点。 的最大值为，最小值为。 的最大值为，最小值为；的最大值为，最小值为。 设，是过焦点F的弦，则弦长，此时最长的弦为长轴，最短弦为通经。 焦点三角形的问题，椭圆上的点与两焦点构成的称为焦点三角形，设，则，当，即为短轴端点时，最大。对焦点三角形,若,，则这个三角形的面积。当且仅当点为椭圆短轴端点时面积最大（利用椭圆的定义、余弦定理）。例3.（2020上海，9）。已知、是椭圆（0）的两个焦点，为
9、椭圆上一点，且.若的面积为9，则= . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】依题意，由可得4c2364a2，即a2c29，故有b3.（若用上述结论可直接求出，2. 双曲线是了解的内容，一般以客观题的形式出现，重点复习双曲线的定义应用，求双曲线的标准方程，渐近线、离心率的计算等。（1）在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是整条双曲线，还是双曲线的一支（与椭圆类比）。例4.（2020辽宁，16）。以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 。【答案】9【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F(4,0),于是由双曲线性质|PF|
10、PF|2a4，而|PA|PF|AF|5， 两式相加得|PF|PA|9,当且仅当A、P、F三点共线时等号成立.（2）双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（焦点三角形，其面积为；特征三角形），研究他们之间的相互联系。（在特征中，它几乎包含了双曲线的所有基本特征量：，所在的直线即为双曲线的渐近线）。渐近线是刻画双曲线的一个重要概念，画双曲线时，应先画出他的渐近线。把标准方程（中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程。由渐近线的斜率就可以求出双曲线的离心率。例5. （2020山东理9）. 设双曲线的一条渐近线
11、与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（A） （B） 5 （C） （D）【解析】双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以=,所以,故选D.3.抛物线理科是要求掌握的内容，文科是了解的内容。（1）重视抛物线定义的运用。定义的实质为“一动三定”：一个动点（设为M）；一个定点F（抛物线的焦点）；一条定直线（抛物线的准线）；一个定值（即为M到点F的距离与它到定直线的距离之比等于1）。解题时“看到焦点想准线，看到准线想焦点”，把抛物线上的点到焦点的问题转化为抛物线上的点到准线问题。（2）掌握抛物线中有关焦点弦的“定值”的结论设，为过抛物线的焦点的弦，则 ，为直线AB的倾斜
12、角）； ； ； 以为直径的圆与抛物线的准线相切，以|为直径的圆与轴相切； 过顶点任意作，则过定点。例6.（2020福建13）.过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则_ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，根据，得。例7.（2020全国卷 9.） 已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则A. B. C. D. 【解析一】设抛物线的准线为直线 恒过定点P .如图过分 别作于,于, 由,则,点B为AP的中点.连结,则, 点的横坐标为, 故点的坐标为, 故选D【解析二】设，得。根据焦半径公式，得。求得，将其代入
13、中得，故选D。（二）要熟练掌握解决有关圆锥曲线问题的通性通法，打好坚实的基础。解析几何所研究的问题有两类：一是根据条件求圆锥曲线的方程；二是根据方程讨论曲线的几何性质。因此，在复习时要重点掌握好圆锥曲线中的一些基本问题。1.求圆锥曲线的标准方程：这是圆锥曲线中的基本问题，也是高考的热点问题，求圆锥曲线的标准方程常常使用定义法与待定系数法，可采用“先定形（焦点位置或对称轴的位置）、后定式（方程的形式）、再定量（方程中待定的系数或）。求解时，要根据圆锥曲线的几何性质进行分析，理清其关系，挖掘其联系。注意：求曲线的标准方程易忽视焦点的位置。2.求曲线的轨迹方程：文科虽不做要求，但课本中有这样问题，也
14、是高考的热点，难度有所降低，因此必须认真对待。轨迹问题具有两个方面：一是求轨迹方程；二是由轨迹方程研究轨迹的性质。这两方面的问题在历年高考中均有出现，在复习时要掌握求轨迹方程的思路和方法，要学会如何将解析几何的位置关系转化为代数的数量关系进而转化为坐标关系。求轨迹方程常用的方法有定义法、直接法、代入法、参数法等。注意：轨迹与轨迹方程的区别；轨迹方程的纯粹性与完备性。例8. （2020海南（宁夏）理。20）（本小题满分12分） 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（）求椭圆C的方程；（）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
