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1、2020年高考模拟热点交汇试题汇编之数列与不等式(30题)（命题者的首选资料）1. 已知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证:（）（）（）若则当n2时,.解: ()先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0x1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在上连续,所以f(0)f()f(1),即0. 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.4分又由, 得,从而.综上可知6分()构造函数g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0. 因为,所以,即0,从而10分() 因为 ,所以, , 所以 ,
2、12分由()知:, 所以= ,因为, n2, 所以 0时，h(x)=px22x+p图象为开口向上抛物线，称轴为x=（0，+）.h(x)min=p.只需p0，即p1时h(x)0，g(x) 0，g(x)在(0,+ )单调递增，p1适合题意.7分当p0时，h(x)=px22x+p图象为开口向下的抛物线，其对称轴为x=（0，+），只需h(0)0，即p0时h(0)（0,+ )恒成立.g(x)0 ，g(x)在（0,+ ）单调递减，p0)，设.当x（0，1）时，k(x)0，k(x)为单调递增函数；当x（1，）时，k(x)0，结论成立.14分5.已知数列的前n项和满足：（a为常数，且）（）求的通项公式；（）设
3、，若数列为等比数列，求a的值；（）在满足条件（）的情形下，设，数列的前n项和为Tn，求证：解：（）当时，即是等比数列 ； 4分（）由（）知，若为等比数列， 则有而故，解得，再将代入得成立， 所以（III）证明：由（）知，所以，由得所以，从而即 14分6.已知数列满足, ，（1）求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式；（3）设，且对于恒成立，求的取值范解：（1）由an1an6an1，an12an3(an2an1) (n2)a15，a25a22a115故数列an12an是以15为首项，3为公比的等比数列 5分（2）由（1）得an12an53n 由待定系数法可得(an13n1)2(an3n)即a
4、n3n2(2)n1 故an3n2(2)n13n(2)n 9分（3）由3nbnn(3nan)n3n3n(2)nn(2)n，bnn()n 令Sn|b1|b2|bn|2()23()3n()n Sn()22()3(n1)()nn()n1 11分得Sn()2()3()nn()n+1n()n+121()nn()n+1 Sn61()n3n()n+16要使得|b1|b2|bn|m对于nN恒成立，只须m6 14分7.已知数列的首项（a是常数，且），（），数列的首项，（）。 （1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数a的值；（3）当a0时，求数列的最小项。解：（1
5、）(n2) 3分由得， ，4分即从第2项起是以2为公比的等比数列。5分（2） 8分当n2时，是等比数列, (n2)是常数，3a+4=0，即 。11分（3）由（1）知当时，所以，13分所以数列为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，显然最小项是前三项中的一项。15分当时，最小项为8a-1；当时，最小项为4a或8a-1；16分当时，最小项为4a；当时，最小项为4a或2a+1；17分当时，最小项为2a+1。18分 8.已知函数f(x)=，设正项数列满足=l， (I)写出，的值; ()试比较与的大小，并说明理由； ()设数列满足=，记Sn=证明：当n2时,Sn(2n1)解(1)，因为所以 2分
6、（2）因为所以3分,5分因为所以与同号，6分因为，即8分（3）当时，10分所以，12分所以14分9.已知，若数列an 成等差数列. （1）求an的通项an; （2）设 若bn的前n项和是Sn，且解：设2，f(a1), f(a2), f(a3),，f(an),2n+4的公差为d，则2n+4=2+(n+21)dd=2,（2分）（4分） （2）， 10.（1）数列an和bn满足 （n=1，2，3），求证bn为等差数列的充要条件是an为等差数列。（8分） （2）数列an和cn满足，探究为等差数列的充分必要条件，需说明理由。提示：设数列bn为证明：（1）必要性 若bn为等差数列，设首项b1，公差d则 a
7、n为是公差为的等差数列 4分充分性 若an为等差数列，设首项a1，公差d则当n=1时，b1=a1也适合bn+1bn=2d， bn是公差为2d的等差数列 4分 （2）结论是：an为等差数列的充要条件是cn为等差数列且bn=bn+1其中 （n=1，2，3） 4分11.设集合W是满足下列两个条件的无穷数列an的集合： M是与n无关的常数. （1）若an是等差数列，Sn是其前n项的和，a3=4，S3=18，证明：SnW （2）设数列bn的通项为，求M的取值范围；（3）设数列cn的各项均为正整数，且（1）解：设等差数列an的公差是d，则a1+2d=4，3a1+3d=18，解得a1=8，d=2，所以2分由
8、=10得适合条件；又所以当n=4或5时，Sn取得最大值20，即Sn20，适合条件综上，SnW4分（2）解：因为所以当n3时，此时数列bn单调递减；当n=1，2时，即b1b2b3，因此数列bn中的最大项是b3=7所以M78分（3）解：假设存在正整数k，使得成立由数列cn的各项均为正整数，可得因为由因为依次类推，可得设这显然与数列cn的各项均为正整数矛盾！所以假设不成立，即对于任意nN*,都有成立.( 16分)12.数列和数列（）由下列条件确定：（1），；（2）当时，与满足如下条件：当时，；当时，.解答下列问题：（）证明数列是等比数列；（）记数列的前项和为，若已知当时，求.（）是满足的最大整数时，用，表示满足的条件.解：（）当时，当时，所以不论哪种情况，都有，又显然，故数列是等比数列.（4分）（）由（）知，故，所以所以，（7分）又当时，故.（8分）（）当时，由（2）知不成立，故，从而对于，有，于是，故，（10分）若，则，所以，这与是满足的最大整数矛盾.因此是满足的最小整数.（12分）而，因而，是满足的最小整数.（14分）13.已知数列中， （1）求； （2）求数列的通项； （3）设数列满足，求证：解：（1）（2） 得即：，所以所以（3）由（2）得：，所以是
