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1、高中数学题根选载1.评十年高考 看一个题根 从“阿波罗尼斯圆”说起几十年高考及各地各种大小备考，简直可以汇集成题的海洋。但细究起来，其知识源头只不过是少数几个。题的不同根基也屈指可数。题根研究的首创者万尔遐先生经过细究，竟发现在高考的数学正卷中，同一个题根，竟连绵考核了10年以上。感叹之余，写了如下脍炙人口的歌谣：题成海，题成河，说到题根并不多。教材深处留心找，找到题根书变薄。考题多，考题新，多新一片像森林。林中切莫眼花乱，认得题根知考根。上面的这首儿歌，唱出了三种关系：题目与题根的关系；考题与考根的关系；最后，题根与考根的关系。那么，到底什么是题根？ 一、题根案例【根题】（人教A版必修2，p
2、124，B组，3题。）已知点M与两个定点O（0，0）,A（3，0）的距离比为，求点M的轨迹方程.【解析】如图1，设动点，连结MO,MA,有：，化简得：，也就是：方程（1）即为所求点M的轨迹方程，它表示以C（-1，0）为圆心，2为半径的圆。评注：1.根题中所求出的圆，我们习惯上称这种圆为“阿波罗尼斯”圆.根题首先是一道题，而且是具有“生长性”的好题。在它的基础上，数学人不仅能“看”出它的精髓，释放它的价值。而且以它为“根”，可以 “长”出许多好题。2.阿波罗尼斯（Apolloning,约公元前260170），古希腊数学家，与欧几里得，阿基米德等齐名。著有圆锥曲线论和平面轨迹等书。二、理论基础将如
3、上根题推广到一般形式，即得轨迹问题：动点到定点的距离之比为定值.（c，为正数），求点的轨迹方程 .（本题实为2020年北京春季高考题）【解析】依题意，由距离公式：，化简得：【讨论】方程的图形是什么？当=1时，得 x = 0 ,也就是线段的垂直平分线（定义这样的直线为阿波罗直线）；当1时，方程（1）变形得：，化成标准形式：，这是以为圆心，且半径的圆。（定义这样的圆为阿波罗尼斯圆，简称为“阿波罗圆”或“阿氏圆”）。【欣赏】阿波罗尼斯圆与直线有四美：1.同一个方程，根据参数的不同，时而表示直线，时而表示圆，这是直线与圆的统一美；2.当1时，不妨设c=1,可得：注意到：，可得：，说明这3数之间存在勾股
4、关系，这反映了阿波罗轨迹内部的结构美；3.在方程（1）中，如圆心在y轴右边，如令，代入（1）得：方程（3）与具有类似的形式，只不过由于，圆心在y轴左边。这两个方程表示的图形关于y轴对称。例如分别取时，分别代入方程（2）与（3），得：和，它们的图形关于y轴（阿波罗直线）对称。所以方程（1）又彰显解几图形的对称美与完整美；4.对于方程（1），只要1，它都表示圆，当无限接近于1乃至等于1时，其图形最终成为直线，这又是曲线由量变到质变的运动美。三、考场精彩【题1】（2020.江苏卷，17题（2）如图2，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆C的半径为1，圆心在上. 若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范
5、围。【解析】点C在直线上，故设半径，圆C的方程是：满足的轨迹正是阿波罗尼斯圆D，由，这里圆心为D（0，-1）,半径两圆有公共点的条件是：即，解得评注：图2可以直观地说明两圆公共点的变化情况，当时，圆C为与所求圆D相切；当时，圆C为,也与所求圆D相切。这样，答案的正确性也就不言而喻了【题2】 2020苏南三校联考,15题 已知点A(3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：xy30上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值，并求此时直线l2的方程【解析】（1）设点P的坐标为(x，y)，则2，化
6、简可得 (x5)2y216即为所求(2)如图3，曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，则直线l2是此圆的切线，连接CQ，则CQM必为直角三角形，|QM|，当CQl1时，|CQ|取最小值.由点线距离公式得：，此时|QM|的最小值为4，此时CQM为等腰直角三角形，故这样的直线l2有两条，即 l2的方程是x1或y4.评注：阿氏圆求得多了，直接运用公式验证也是可取的。例如本题中，应有,代入公式，立即得到：(x5)2y216【题3】（2020.江苏卷，13题）满足条件的ABC的面积的最大值是 【解析】显然这又是一例“阿波罗圆”，建立如图4的直角坐标系，因为有，代入阿波罗圆公式得：。设圆心为M，显然
7、当CMx轴时，ABC面积最大,此时.评注：既然ABC存在，说明其轨迹不包括与x轴的两个交点P,Q，现在问：P,Q这两点究竟有什么性质？由于，为ACB的内角平分线；同理，为ACB的外角平分线。这就是说，P,Q分别是线段AB的内分点和外分点，而PQ正是阿氏圆的直径。于是“阿波罗尼斯圆”在我们中国又被称为“内外圆”因此，题3又有如下的轴上简洁解法:动点C 到定点A ( - 1，0 ) 和B（1，0）距离之比为, 则有 ,得为内分点，为外分点圆半径，即为三角形高的最大值，即ABC 高的最大值是.故ABC的面积的最大值是.【题4】（2020，四川文8理6）已知两定点 A (-2，0)，B (1，0)，如
8、果动点P 满足| PA | =2| P B|，则点P的轨迹所包围的面积等于（ ）A. B.4 C.8 D.9【解析】显然这又是一个阿波罗圆，由上述评注我们可以实行轴上解决。设O为坐标原点，注意到,可知原点O为线段AB的内分点设AB的外分点为，由，即有C（4，0）.于是圆直径为，所求轨迹面积，故选B.评注：本题条件中的A,B关于y轴不对称，所以直接用阿波罗圆公式不恰当，但由于知道轨迹一定是圆，圆面积只与半径有关，而半径公式为，当时，直接代入即得。【题5】ABC中，角C的平分线交 AB于点 T， 且 AT = 2， TB = 1. 若AB上的高线长为2， 求 ABC的周长. 【解析】建立如图5的直
9、角坐标系，由条件知，故点C的轨迹是阿波罗圆D，且T为AB的内分点。设AB的外分点为，即圆直径，故点D（2,0）已知ABC 中AB上的高线长为2，即,且由勾股定理得：，故所求三角形ABC的周长评注：如果没有阿波罗圆的知识，你可能发现不了此三角形的高原来就是圆的半径，这是一个巧妙的隐含条件。四、题根拓展1.由已知轨迹向未知轨迹拓展【例1】已知定点 B (3，0)，点 A 在圆上运动，AOB的平分线交AB于点M，则点 M 的轨迹方程是 .【解析】 如图6，设点为圆上任意一点，有AOB的平分线交AB于，则,，代入（1），化简得： 方程（2）就是所求点M的轨迹方程.评注：条件依然有比例（），结论依然是圆
10、，但已经不适合用求阿波罗轨迹的办法解题。解本题的方法叫做“坐标转移法”（也有称此法为“相关点法”或“代入法”的）。其步骤是：设在已知轨迹上，它适合已知轨迹的方程；找出主动点A与被动点M的转化关系；将此关系代入已知轨迹的方程，以代替，化简即得。2.由距离比向角度比拓展【例2】（2020四川理卷21题（1）如图，动点M到定点A（-1，0）,B（2.0），构成MAB,且MBA=2MAB，设动点M的轨迹为C，求轨迹C的方程。【解析】如图设MAB=，则MBA=2.当MBA90时，点M的坐标为(2，3)当MBA90时，x2，由MBA2MAB，有而，MAB存在时，y0,化简得： 注意到MBAMAB,故所求轨
11、迹为双曲线右支，其方程为.评注：距离比转换为角度比，轨迹不再是圆。此时求轨迹方程的一般方法是（五步法）：（1）设点.即设M（x,y）为符合轨迹条件的点；（2）列式.即列出能够反映轨迹条件与结论的一个等式；（3）转化.即将以上（2）中的等式转化成为关于变量x,y的二元方程；（4）化简.即将以上（3）中的方程转化成为最简形式；（5）讨论.如果以上（4）中的最简方程含有参变量，则需依据参变量的变化进行讨论，看其分别表示什么曲线，要特别注意做到“多退少补”。3距离比向“向量比”拓展【例3】（选自2020.浙江训练题）已知椭圆1(a0，b0)的右顶点为A，点M在椭圆上，且它的横坐标为1，点B(0，)，且
12、2.求椭圆的方程。【解析】如图8.当2时，点M为线段AB的中点。点M 的横坐标为1，故必有A（2，0）,即又知，故有，连同代入椭圆方程：故所求椭圆方程为：评注：本题A,M,B其实都是定点，这与求点M的轨迹方程是不一样的。点A,M,B确定，则椭圆方程也就唯一确定了。4.轨迹的解析法，向几何法拓展【例4】（2020.武汉华师一附中5月考，5题）是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任一点，从焦点引的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为（ ）A直线 B圆 C椭圆 D双曲线【解析】如图9,延长交于R，连OP.QP平分，且QPF1R,Q F1R为等腰三角形,且P为F1R的中点.设双曲线实轴为2a，而OP是F
13、1F2R的中位线,为定值, 则点P的轨迹为圆,选B.评注：假如“看”不到为定长的实质，而纯粹用解析法去做，其难度何止增加数倍？5. 两定点用两定圆替换，距离之比用切线长之比替换【例5】（2020年高考江苏卷19题）如图10，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2 = 4，过动点P分别作圆O1、O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得. 试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程.【解析】以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴建立如图10的直角坐标系，有.连结有，即是：，化简得：，所求轨迹是以（6，0）为圆心，以为半径的圆.评注：M,N不是定点，过渡到O1，O2就是定点了。将未知的
14、动点向已知的定点转化，这就是本题思路。小结：题根，首先是一道题.但必须是具有生长性的优秀例题或试题；题根不同于“母题”。母题的繁衍是由上而下的，是同一试题的各种变式，没有明显的难易之分.而题根的生长则是由下而上的，相当于同一颗树上的不同分支，由简单到复杂，乃至拓广；题根也不同于“题串”。题串是将同一类型的题串联起来，题串中的题可以看成是“兄弟姊妹”关系。而题根，则是同一条根上繁衍出来的题的家族，它可能繁育了好多代；题根还不同于数学建模。建模具有转移性，即用同一种“模型”去套解不同的试题。而同一题根“生长”出来的题的家族，有可能适用于不同的数学模型；一些人提倡的试题串联，与以上谈到的“题串”类似，也不同于题根。题根是与“题海”对立的概念。其最大特点是摒弃多而杂，提倡少而精；题根研究题的本源，即审查每一道有价值的题，其源头在哪里；研究题根时，如图养花育苗那样，永远的法则是优胜劣汰。不是什么样的题都可以作为题根，也不是什么样的题都能够加入题根序列的。【赠言】 “题根”作者赠“题海”三言：（1）题海战术人笑痴，别人抓根你抓枝，抓根九九能归一，抓枝遍野怎收拾？（2）起早赶晚太可怜，我把题根送考生，无根解题负担重，有根解题一身轻。（3）不必走西又跑东，题根就在课本中，三人同行有吾师，三题相见有弟兄！五、题根精练1.设 A( -3，
