《2020年高考数学 考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考数学 考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例（通用）（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1（2020安徽高考文科10）函数在区间上的图象如图所示，则n可能是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【思路点拨】 代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案.【精讲精析】选A. 代入验证,当n=1时，则，由=0可知，结合图象可知函数应在（0，）递增，在递减，即在处取得最大值，由知存在.2.（2020辽宁高考理科11）函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意xR，则f（x）2x+4的解集为（A）（-1，1） （B）（-1，+） （C）（-，-1） （D）（-，+）【思路点拨】先构造函数，求其导数，将问题转化为求单调性
2、问题即可求解【精讲精析】选B.构造函数，则，又因为，所以，可知在R上是增函数，所以可化为，即，利用单调性可知，选B.3（2020安徽高考理科10）函数在区间上的图象如图所示，则的值可能是（A） (B) (C) (D) 【思路点拨】本题考查函数与导数的综合应用，先求出的导数，然后根据函数图像确定极值点的位置，从而判断m,n的取值.【精讲精析】选B.函数的导数则在上大于0，在上小于0，由图象可知极大值点为，结合选项可得m=1,n=2.二、填空题4.（2020广东高考理科12）函数在 处取得极小值.【思路点拨】先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值的时刻.【精讲精析
3、】答案：2由解得或，列表如下：02+-+增极大值减极小值增当时，取得极小值.5（2020辽宁高考文科16）已知函数有零点，则的取值范围是 【思路点拨】先求，判断的单调性结合图象找条件本题只要使的最小值不大于零即可【精讲精析】选A，=由得，由得，在处取得最小值只要即可，的取值范围是6.（2020江苏高考12）在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_【思路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标t的表达式，然后考虑单调性求解最值。【精讲精析
4、】答案：设则，过点P作的垂线，所以，t在上单调增，在单调减，。三、解答题7（2020安徽高考理科16）设，其中为正实数（）当时，求的极值点；（）若为上的单调函数，求的取值范围.【思路点拨】（）直接利用导数公式求导，求极值. （）求导之后转化为恒成立问题.【精讲精析】对求导得，（）当令，则.解得，列表得x+0-0+极大值极小值所以，是极小值点，是极大值点.（）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合与条件a0,知在R上恒成立，因此由此并结合a0,知.8.（2020福建卷理科18）(本小题满分13分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足
5、关系式，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.（I）求a的值。（II）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【思路点拨】(1)根据“销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克”可知销售函数过点（5,11）,将其代入可求得的值;（2）利润为y=(每件产品的售价-每件产品的成本) 销量,表示出函数解析式后，可借助导数求最值. 【精讲精析】（I）因为时，所以所以.（II）由（1）可知，该商品每日的销售量所以商场每日销售该商品所获得的利润从而于是，当变化时，的变化情况如下表，40单调递增极大值42单调递减由上
6、表可得，是函数在区间内的极大值点，也是最大值点.所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于42.当销售价格为元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.9.（2020福建卷文科22）已知a，b为常数，且a0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f(e)=2（e=2.71828是自然对数的底数）.（I）求实数b的值；（II）求函数f（x）的单调区间；（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（mM），使得对每一个tm，M，直线y=t与曲线y=f（x）（x，e）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由.【思路点拨】(1) ;(2)对函数求导得导函数，由导函数得单
7、调区间，必要时分类讨论；（3）列表判断的单调性和极值、最值情况，再结合的草图即可探究出是否存在满足题意的.【精讲精析】(1)由得（2）由（1）可得从而因为故： 当时，由得；由得； 当时，由得；由得.综上，当时，函数的递增区间为（0,1），单调递减区间为.当a0时，函数f（x）的递增区间为（1，+），单调递减区间为（0,1）.(3)当时，由（2）可得，当在区间上变化时，的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增又，所以函数的值域为.据此可得，若则对每一个直线与曲线都有公共点；并且对每一个，直线与曲线都没有公共点.综上，当时，存在最小的实数，最大的实数，使得对每一个，直线与曲线 都有公共点.10（2
8、020江苏高考17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D四个点重合与图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒。E,F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设。（1）某广告商要求包装盒的侧面积S最大，试问应取何值？（2）某厂商要求包装盒的容积V最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。【思路点拨】本题主要考查的是从实际生活中提取数学模型，然后利用数学知识进行解决，所以解决本题的关键是正确的列出侧面积和容积的表达式，然后根据二次函数的最值和导数法求最值求解。
9、【精讲精析】设包装盒的高为，底面边长为由已知得。（1），所以当时，S取得最大值。（2）。由得，(舍)或。当时；当时，所以当时取得极大值，也是最大值,此时，即包装盒的高与底面边长的比值为。11.（2020江苏高考19）已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致（1）设，若和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；（2）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值【思路点拨】本题考查的是导数与函数的综合知识，在解决本题时要注意挖掘已知的信息，注意条件的转化，函数和在区间上单调性一致，可以转化为导数之积恒为正来处理。【精讲精析】解
10、法一：。（1）由题意得，在上恒成立。因为，故，进而，即在区间上恒成立，所以，因此的取值范围是。（2）令，解得，若，由得，又因为，所以函数和在上不是单调性一致的。因此。现设。当时，；当时，。因此，当时，故由题设得且，从而，于是，因此，且当时等号成立。又当时，),从而当时，,故函数和在上单调性一致的。因此的最大值为.解法二：（1）因为函数和在区间上单调性一致，所以，即即（2）当时，因为，函数和在区间（b,a）上单调性一致，所以，即，设，考虑点(b,a)的可行域，函数的斜率为1的切线的切点设为则；当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，即，当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性
11、一致，所以，即而x=0时，不符合题意， 当时，由题意：综上可知，。12. （2020新课标全国高考理科21）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围.【思路点拨】第（1）问，对函数求导得，对应为切线的斜率，切点即在切线上又在原函数上，利用上述关系，建立方程组，求得的值；第（2）问，首先化简函数式，再来证明不等式成立即可，必要时分类讨论.【精讲精析】（）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，.（）由（）知，所以.考虑函数，则.(i)设，由知，当时，h(x)递减.而，故当时， ，可得；当x（1，+）时，h（x）0从而当x0,且x1时，f（x）-（+）0，即f（x
12、）+.（ii）设0k0,故 (x）0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）0，可得h（x）0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得 h（x）0可得,x h(x)0可得,从而当，且时，.14（2020辽宁高考文科20）（本小题满分12分）设函数，曲线过点P（1，0），且在P点处的切斜线率为2（I）求，的值；（II）证明：【思路点拨】（I）先求导，再代入进行计算；（II）构造函数，求其导函数，证明其单调性，将所求问题转化为证明 的问题【精讲精析】（I） 2分由已知条件得 即解得 5分（II）的定义域为，由（I）知设，则当时，；当时，所以在上单调增加，在（1，+）上单调减少而，故当时，即 12分15.（2020广东高考文科19）设a0,讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性.【思路点拨】先求的导函数，再由的不同取值范围，解不等式，从而确定的单调区间.在解本题时一定要注意的定义域为【精讲精析】函数的定义域为当的判别式当有两个零点，且当内为增函数；当内为减函数；当内为增函数；当内为增函数；当在定义域内有唯一零点，且当内为增函数；当时，内为减函数。的单调区间如下表： （其中）1
