《《走向清华北大》2012高考总复习等差数列课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《走向清华北大》2012高考总复习等差数列课件（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二十八讲等差数列 回归课本 1 等差数列的定义及等差中项 1 如果一个数列从第2项起 每一项与前一项的差都等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫等差数列的公差 通常用字母d表示 定义的表达式为an 1 an d n N 2 对于正整数m n p q 若m n p q 则等差数列中am an ap aq的关系为am an ap aq 如果a A b成等差数列 那么A叫做a与b的等差中项 其中 2 等差数列的通项公式及前n项和公式等差数列的通项公式为an a1 n 1 d 前n项和公式为Sn 或 3 等差数列的性质 1 等差数列的通项是关于自然数n的一次函数 d 0 n an 是
2、直线上的一群孤立的点 an an b a b是常数 是 an 成等差数列的充要条件 2 等差数列 an 的首项是a1 公差为d 若其前n项之和可以写成Sn An2 Bn 则当d 0时它表示二次函数 数列 an 的前n项和Sn An2 Bn是 an 成等差数列的充要条件 3 等差数列的增减性 d 0时为递增数列 且当a10时前n项和Sn有最大值 4 与等差数列有关的结论 1 若数列 an 和 bn 是等差数列 则 man kbn 仍为等差数列 其中m k为常数 2 等差数列中依次k项和成等差数列 即Sk S2k Sk S3k S2k 成等差数列 且公差为k2d d是原数列公差 3 项数为偶数2n
3、的等差数列 an 有S2n n a1 a2n n an an 1 an与an 1为中间的两项 S偶 S奇 nd 4 项数为奇数2n 1的等差数列 an 有S2n 1 2n 1 an an为中间项 S奇 S偶 an S奇 S偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和 5 与等差数列有关的规律 1 等差数列 an 中 若an m am n m n 则am n 0 2 等差数列 an 中 若Sn m Sm n m n 则Sm n m n 3 等差数列 an 中 若Sn Sm m n 则Sm n 0 4 若 an 与 bn 均为等差数列 且前n项和分别为Sn与S n 则 6 等差数列的判定方法 1
4、定义法 an 1 an d 常数 an 是等差数列 2 中项公式法 2an 1 an an 2 n N an 是等差数列 3 通项公式法 an pn q p q为常数 an 是等差数列 4 前n项和公式法 Sn An2 Bn A B为常数 an 是等差数列 考点陪练 1 设 an 是等差数列 若a2 3 a7 13 则数列 an 前8项的和为 A 128B 80C 64D 56 答案 C 2 2010 山东烟台高三诊断 在等差数列 an 中 若前5项和S5 20 则a3等于 A 4B 4C 2D 2解析 S5 a1 a2 a3 a4 a5 5a3 20 a3 4 答案 A 3 2010 辽宁大
5、连高三一模 在等差数列 an 中 若a4 a6 a8 a10 a12 120 则a9 a11的值为 A 14B 15C 16D 17 答案 C 4 在数列 an 中 a1 1 a2 5 an 2 an 1 an n N 则a1000等于 A 5B 5C 1D 1解析 解法一 a1 1 a2 5 an 2 an 1 an n N 可得该数列为1 5 4 1 5 4 1 5 4 由此可得a1000 1 解法二 an 2 an 1 an an 3 an 2 an 1 n N 两式相加可得an 3 an an 6 an a1000 a166 6 4 a4 a1 1 答案 D 答案 C 类型一等差数列的
6、判断与证明解题准备 证明一个数列 an 为等差数列的基本方法有两种 1 利用等差数列的定义证明 即证明an 1 an d n N 2 利用等差中项证明 即证明an 2 an 2an 1 n N 注意 在选择方法时 要根据题目的特点 如果能够求出数列的通项公式 则可以利用定义法 否则 可以利用等差中项法 典例1 已知数列 an 的通项公式an pn2 qn p q R 且p q为常数 1 当p和q满足什么条件时 数列 an 是等差数列 2 求证 对任意实数p和q 数列 an 1 an 是等差数列 解 1 an 1 an p n 1 2 q n 1 pn2 qn 2pn p q 要使 an 是等差
7、数列 则2pn p q应是一个与n无关的常数 所以只有2p 0 即p 0 故当p 0时 数列 an 是等差数列 2 证明 an 1 an 2pn p q an 2 an 1 2p n 1 p q 而 an 2 an 1 an 1 an 2p为一个常数 an 1 an 是等差数列 类型二等差数列的基本量运算解题准备 等差数列 an 中 a1和d是两个基本量 用它们可以表示数列中的任何一项 利用等差数列的通项公式与前n项和公式 列方程组解a1和d 是解决等差数列问题的常用方法 由a1 d n an Sn这五个量中的三个量可求出其余两个量 需选用恰当的公式 利用方程组观点求解 典例2 已知等差数列
8、an 中 a2 8 前10项和S10 185 1 求数列 an 的通项公式an 2 若从数列 an 中依次取出第2 4 8 2n 项 按原来的顺序排成一个新的数列 试求新数列的前n项和An 2 An a2 a4 a8 a2n 3 2 2 3 4 2 3 8 2 3 2n 2 3 2 4 8 2n 2n 3 2n 3 2n 1 2n 6 反思感悟 先求出数列的通项公式 然后用通项公式表示出新数列中的各项 再求和 类型三等差数列的性质及应用解题准备 若m n p q m n p q N 则am an ap aq Sk S2k Sk S3k S2k 构成的是公差为k2d的等差数列 从中我们可以体会运
9、用性质解决问题的方便与简捷 应注意运用 典例3 在等差数列中 Sn表示 an 的前n项和 1 a3 a17 10 求S19的值 2 a1 a2 a3 a4 124 an an 1 an 2 an 3 156 Sn 210 求项数n 3 S4 1 S8 4 求a17 a18 a19 a20的值 3 S4 S8 S4 S12 S8 S16 S12 S20 S16成等差数列 又S4 1 S8 S4 3 新的数列前5项分别为1 3 5 7 9 S20 S16 a17 a18 a19 a20 9 类型四等差数列前n项和的最值问题解题准备 求等差数列前n项和Sn的最值问题 主要有以下方法 二次函数法 将S
10、n看作关于n的二次函数 运用配方法 借助函数的单调性及数形结合 使问题得解 通项公式法 求使an 0 或an 0 成立的最大n值即可得Sn的最大 或最小 值 不等式法 借助Sn最大时 有解此不等式组确定n的范围 进而确定n的值和对应Sn的值 即Sn的最值 典例4 已知数列 an 满足2an 1 an an 2 n N 它的前n项和为Sn 且a3 10 S6 72 若bn an 30 求数列 bn 的前n项和的最小值 分析 先判断 an 是等差数列 求an 再求bn 由 bn 的通项研究数列 bn 的前n项和的最值 解 2an 1 an an 2 an 是等差数列 设 an 的首项为a1 公差为
11、d 由a3 10 S6 72 得 反思感悟 除上面方法外 还可将 an 的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数问题 利用二次函数的图象或配方法求解 错源一忽略数列项数 典例1 已知数列 an 的前n项和Sn 10n n2 n N 求数列 an 的前n项和Tn 错解 当n 1时 a1 S1 9 当n 2时 an Sn Sn 1 11 2n 由于n 1时 a1 9也满足an 11 2n 因此an 11 2n 由11 2n 0 得 即从第6项开始数列各项为负 那么Tn a1 a2 an a1 a2 an 2 a1 a2 a5 Sn 2S5 n2 10n 2 10 5 52 n2 10n 50
12、剖析 错解中忽视了 项数 默认了n 5 事实上 n完全可以小于或等于5 显然 当n 5时 结论就是错的 正解 对n进行分类 1 由上述可知an 11 2n 当n 5时 同上述错解 得Tn n2 10n 50 2 当n 5时 Tn a1 a2 an a1 a2 an 10n n2 错源二忽略为零的项 典例2 在等差数列 an 中 已知a1 10 前n项和为Sn 且S10 S15 求n取何值时 Sn有最大值 并求出最大值 剖析 这是一个首项为正的递减的等差数列 零是这个数列的项吗 由于a1 10 d 得10 13 1 也就是说零是这个数列的第13项 于是答案就出错了 正解 由于a1 10 0 d
13、即数列 an 是一个首项为正的递减的等差数列 又由于a13 0 由上述解法可知 该数列的前12或13项的和最大 其值为65 错源三对数列的有关概念理解有误 典例3 已知数列 an 是递增数列 且对于任意的n N an n2 n恒成立 则实数 的取值范围是 错解 因为an n2 n是关于n的二次函数 且n 1 所以 1 解得 2 剖析 数列是以正整数N 或它的有限子集 1 2 为定义域的函数 因此它的图象只是一些孤立的点 满足条件的此数列的点分布如图 正解 解法一 由图分析得 所以 3 解法二 由 an 是递增数列 得an 2n 1 而 2n 1 3 所以 3 答案 3 技法一活用变式 出奇制胜
14、 典例1 已知等差数列 an 中 ap q aq p q p 求ap q 解题切入点 由等差数列的通项公式an a1 n 1 d可得变式 an am n m d或 n m 利用此变式可快速求解 解 解法一 由变式 得 q p p q d 所以d 1 所以ap q ap p q p d q q 1 0 解法二 由变式 得 所以所以ap q 0 解法三 因为an a1 n 1 d 所以点 n an 在一条直线上 不妨设pq时 同理可得ap q 0 方法与技巧 在解题时 巧妙地利用等差数列的变式 常常能出奇制胜 达到简捷明快的目的 技法二设而不求 化繁为简 典例2 在等差数列 an 中 Sm Sn m n 求Sm n 方法与技巧 在解有关等差数列习题时 设出其基本量a1 d 利用设而不求 整体代入能使题目避繁就简
