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1、连云港市20182019学年第二学期期末考试高二数学（选修历史）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题纸相应位置上1.已知，则实数值为_.【答案】0【解析】【分析】分别讨论、的情况.【详解】当时，不满足互异性；当时，或（舍），所以集合是满足.故：.【点睛】本题考查根据元素与集合的关系求解参数的值，注意使用集合中元素的互异性，难度较易.2.函数的最小正周期是_.【答案】【解析】【分析】先利用二倍角公式将化简，然后根据周期计算公式计算周期,【详解】因为，所以.【点睛】二倍角公式：；周期计算公式：.3.已知i是虚数单位,若,则_【答案】【解析】由 即答案为4.已知正四棱
2、锥的底面边长是2，高为，则这个正四棱锥的侧面积是_.【答案】【解析】【分析】通过底面边长和高求出侧面等腰三角形的高，然后计算四个等腰三角形的面积和，即为侧面积.【详解】如图所示，所以，则，所以，则.【点睛】本题考查正四棱锥的侧面积，关键是计算出斜高并计算的值，难度较易.5.函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】根据对数函数的真数大于求解的范围，即为定义域.【详解】因为，所以，故的定义域为.【点睛】本题考查对数型函数的定义域，注意真数大于，难度容易.6.若是定义在R上的奇函数，当时，则当时，_.【答案】【解析】【分析】利用计算的表达式，再根据奇函数可得，由此得到时，的表达式.【详解】因为，所
3、以，则；又因为是奇函数，所以，则.【点睛】求解含奇偶性的分段函数的解析式，从已知某段函数入手，将未知转化为已知，然后再利用奇偶性完成求解.7.给出下列等式：由以上等式可推出一个一般结论：对于，_【答案】【解析】【分析】由已知中三个式子，我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势，可以归纳出其通项为，分析等式右边的式子，发现每一个式了均为两项差的形式，且被减数均为1，减数为，由此即可得到结论【详解】由已知中的等式：由以上等式我们可以推出一个一般结论：对于 故答案为：【点睛】本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表
4、达的一般性命题（猜想）8.设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：若，则； 若，则；若，则； 若，则其中的真命题是_.（填上所有真命题的序号）【答案】【解析】【分析】根据线面垂直的性质定理可判断真假；包含特殊情况，直线在平面内；根据线面平行性质定理和面面垂直的判定定理判断真假；根据特殊模型判断真假.【详解】垂直于同一平面的两条直线互相平行，故为真命题；可能在内，故为假命题；过作平面与平面相交于直线，因为，所以，且，所以，故为真命题；在正方体中，取上底面的对角线记为，作两个平行于上底面的平面，则，但是与不平行，故为假命题.故填写：.【点睛】符号语言描述的空间中点、线、面的位置关系如
5、何判断正误：（1）利用公理、定义、性质定理、判定定理再辅助图形去分析；（2）在规则几何体中找到能反映问题的模型（正方体等）.9.已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在上的单调增区间是_.【答案】【解析】【分析】先由向右平移个单位得到，写出函数解析式；根据单调增区间列出不等式，再对取值，得到上单调区间.【详解】向右平移个单位后得，令，则，由于，所以取，则，综上：.【点睛】向左（或右）平移个单位即可得到，而不是得到，这里需要注意的就是时，平移是在这个整体上进行的，并不是简单的在括号里加、减.10.设棱长为的正方体的体积和表面积分别为，底面半径和高均为的圆锥的体积和侧面积分别为，若，则
6、的值为_.【答案】【解析】【分析】先根据表面积与侧面积之比求出的值，然后将的值代入体积之比的式子中计算.【详解】因为，所以，故；所以.【点睛】圆锥的体积公式：；圆锥的侧面积公式：（是底面圆半径，是母线长）；圆锥的表面积公式：（是底面圆半径，是母线长）；注意区分侧面积和表面积.11.已知为钝角，则_.【答案】【解析】【分析】将改写成的形式，利用二倍角公式计算的值，代入相关数值.【详解】因为，所以；因为且为钝角，所以是第二象限角，则 ，故.【点睛】（1）常见的二倍角公式：， ；（2）常用的角的配凑：，； ，.12.已知定义在上的奇函数，若，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先根据奇函数
7、求出的值，然后分析 单调性并由函数值之间的关系转变为自变量之间的关系，最后求出的范围.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，则；又因为与在上递增，所以由可得： ，故，即.【点睛】（1）奇函数在处有定义时，必定有；（2）通过函数的单调性，可以将函数值之间的关系转为自变量之间的关系（注意定义域），从而完成对自变量范围的求解.13.在中，已知，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据的值利用余弦定理得到的一个关系式；再将化切为弦得到第二个的关系式，两式联立消去，从而得到的关系式，化简可得的值，即为的值.【详解】由余弦定理可得：，则；又因为，所以，化简得；两式联立消得，则 ，解得；由正弦定理可知：.【
8、点睛】解三角形的问题中，出现了有关正切的条件，要注意将其转化为正、余弦的形式去处理，因为这对后面去使用正、余弦定理会更加的便捷.14.已知函数若存在实数，满足，且，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】数形结合：作出函数图象，考虑，分布的特点，然后将计算的结果代入进行化简并求范围.【详解】作出函数图象：由可知：，所以，即；又因为关于对称，所以且，又，则原式.【点睛】分段函数中涉及到的函数性质问题，采用数形结合思想去解决问题更加简便；同时对于常见的一些函数图象变换要熟悉，例如：是将位于轴下方的图象翻折到轴上方.二、解答题：共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明
9、过程或演算步骤15.在中，已知角，的对边分别为，且（1）求；（2）若，求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先用正弦定理化简所给式子，得到有关的三角函数值，求出的值；（2）利用三角形内角和为以及的大小，将改写成的表示形式计算即可.【详解】解：（1）在中，由正弦定理得，所以， 所以， 所以，因为，所以 （2）在中，所以【点睛】（1）解三角形求解的时候，一般都是通过对所给的条件利用正、余弦定理进行化简，进而得到相关角度的值；（2）三角形内角和为这一隐含条件很容易忽视，要注意.16.已知函数（1）求在区间上的值域；（2）由函数的图象经过怎样的变换可以得到的图象【答案】（1）（2）见解析【解
10、析】【分析】（1）利用两角和余弦公式以及二倍角公式将变形，再利用辅助角公式将变形，然后根据所给区间求解值域；（2）通过平移和伸缩变化将变换为.【详解】解：（1） 因为，所以， 所以，所以， 所以函数在区间上的值域为； （2）将函数的图象向左平移个单位得到的图象；将函数的图象上所有点横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得到的图象【点睛】（1）巧用辅助角公式：；（2）图象在进行平移变换的时候一定要注意是否为，如果不为，不能进行简单的“左加右减”，一定要将看成一个整体.17.如图，在四棱锥中，平面平面，平面， 求证：（1）平面；（2）平面平面【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）先通过线
11、面平行性质定理得到，再通过线面平行判定定理得到结论；（2）利用数量关系得到，再借助已知条件证明，通过线线垂直证明线面垂直，最后证明面面垂直.【详解】证明：（1）平面，而平面，平面平面， 平面，平面，平面 （2），满足，由知又平面平面，平面 又，所以又，又，平面平面【点睛】（1）线面平行的性质定理：一条直线平行一个平面，那么过这条直线的任意平面与此平面的交线必定平行于已知直线；（2）面面垂直的判定：一个平面过另外一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.18.如图，在直三棱柱中，点，分别是与的中点（1）求证：平面平面；（2）若，求三棱锥的体积【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）通过辅助
12、线，可分别证明平面与平面，再通过面面平行的判定定理即可证明；（2）根据条件求解出的值，然后利用面积公式可求，通过将棱锥的顶点换成计算三棱锥的体积.【详解】（1）证明：连结在直三棱柱中，点，分别是与的中点且，四边形是平行四边形且，又且，且四边形是平行四边形，又平面，平面，平面同理可证：平面又，平面，平面平面 （2）解：在中，由余弦定理可知又因为，所以所以又在直三棱柱中，平面【点睛】（1）证明线面、面面平行时，注意辅助线的用处，经常会用到三角形中位线、不相邻两边中点间连线等辅助线；（2）计算锥体体积时，要注意待计算的三棱锥的顶点是可以更换的，有时能很大程度上简化计算，需要注意.19.某公园欲将一块
13、空地规划成如图所示的区域，其中在边长为20米的正方形内种植经红色郁金香，在正方形的剩余部分（即四个直角三角形内）种植黄色郁金香现要在以为边长的矩形内种植绿色草坪，要求绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积设，米（1）求与之间函数关系式；（2）求的最大值【答案】（1），其中（2）米【解析】【分析】（1）利用已知条件将黄色郁金香和绿色草坪的面积表示出来，然后根据面积相等，得到与之间的函数关系式，注意定义域；（2）根据，用换元法并构造新函数完成最大值的求解.【详解】解：（1）在中，则，同理，在中，则，所以 因为在矩形内种植与黄花面积相等的草坪，设矩形的面积为，则，所以，所以，其中（2）令，则因为，所以，所以，因为在上单调递增，所以，答：的最大值为米【点睛】（1）实际问题中求解函数关系式时，不仅要给出正确的函数解析式同时还要注意定义域问题；（2）与的关系：.20.设函数（R）（1）求函数在R上的最小值；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；（3）若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）通过换元法将函数变形为二次函数，同时利用
