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1、2019-2020学年第一学期联片办学期中考试高二年级试卷一、选择题1.已知分别是的三个内角所对的边，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理可计算的值.【详解】由正弦定理可得即，故.故选A.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.2.在中，若 则 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理可
2、求.【详解】因为，而，所以，故选D.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件.3.数列中，则为（ ）A. -3B. -11C. -5D. 19【答案】D【解析】【分析】根据递推关系依次计算可得的值.【详解】因为，所以，故，故选D.【点睛】数列的递推关系体现了数列中若干项之间的关系，我们可以依据数列的前若干项和递推关系得到该数列，注意数列的递推关系体现了数列的某些性质，如体现了数列的周期性，体现了数列的单调性.4.已知等差数列中，则数列的前11项和等于( )A.
3、22B. 33C. 44D. 55【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的性质可求.【详解】因为，故选C.【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2） 且 ；（3）且为等差数列；（4） 为等差数列.5.已知集合，集合，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择B选项.6.若，且那么（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】对于A，当a1，b0，c1，d1时，则不成立，故A不正确；对于B，当a1，b0，c1，d2时，则不成立，故B不正确；对于C，当a1，b0，c1，d2时，则不成立，故C不正确；对于D，
4、根据不等式的性质可得，ab，cd，dc，adbc，故选D7.在等比数列中,，,则等于A. B. C. D. 或【答案】D【解析】为等比数列，又为的两个不等实根，或故选D8.设且恒成立，则的最大值是A. B. 2C. D. 4【答案】D【解析】，又恒成立故选D点睛：恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.9.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先利用正弦定理角化边，再利用余弦定理化
5、简即得解.【详解】由正弦定理可得，故选C【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.10.关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先题目由不等式的解集为，求实数的取值范围，考虑转化为函数对任意的x，函数值小于零的问题再分类讨论1或1的情况即可解出答案【详解】当时，若，则原不等式可化为，显然恒成立；若，则原不等式可化为，不恒成立，所以舍去；当时，因为（的解集为，所以只需解得.综上，实数的取值范围为.故选D.【点睛】此题主要考查二次函数的性质问题，是基础题11.已知正项等比数列若存在两项、
6、使得，则的最小值为A. B. C. D. 不存在【答案】A【解析】设公比为则，解得所以由得：故选A【此处有视频，请去附件查看】12.在中，角，的对边分别为，其面积为，若，则一定是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】先根据余弦定理得到从而得到，再根据得到，因此或，根据勾股定理可判断三角形的形状.【详解】因为，所以，而，故.又，所以，所以即，故或.若，则，故，故为直角三角形；若，则，故，故为直角三角形；综上，故选B.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件. 而三角形面积的计算有两种基本的方
7、法：（1）底和高乘积的一半；（2）；解题中注意合理选择.二、填空题13.已知数列的前项和为，则数列的通项公式为_.【答案】【解析】【分析】利用可计算数列的通项公式.【详解】，而，当时，故.填.【点睛】数列的通项与前项和 的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.14.设满足约束条件,则的最大值为_【答案】7【解析】此题考查线性规划知识;此类题目有两种做法：一是根据已知条件画出不等式所表示平面区域，然后找出直线，然后平移求解；二是根据已知条件画出不等式所表示的平面区域，然后把平面区域的边界交点坐标求出，然后把坐标往目标函数代入计算，大的就是最大值，小的就是最小值；此不等式组所表示的平面
8、区域如图阴影所示，把分别代入目标函数可知，当过点（3，-2）时，目标函数最大且为7；15.如图，一热气球在海拔60m的高度飞行，在空中A处测得前下方河流两侧河岸，的俯角分别为75，30，则河流的宽度等于_m【答案】【解析】【分析】先计算出的长度，然后在中求出和，利用正弦定理求出的长度【详解】在ABC中，由得又，由正弦定理得故答案为【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形的实际应用，一般而言，正弦定理解三角形适用于已知两角与一边类型的三角形，同时要分清楚正弦、余弦定理所适用的基本类型，在解三角形时根据已知元素类型合理选择这两个公式来求解16.在数列中，是数列前项和，若，则_.【答案】1010【解析】
9、【分析】讨论n奇偶性得的周期性，再求和即可【详解】当n为偶数，当n为奇数，即故 即为周期为4的数列，又故 故，则1010故答案为1010【点睛】本题考查数列的递推关系，考查数列的周期性及求和，准确计算是关键，是中档题三、解答题17.已知an是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列（1）求数列an的通项； （2）求数列的前n项和Sn【答案】（1）；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）设公差为d，则a3=12d，a9=18d，所以，(12d)=1(18d)，解得，d=1（d=0舍去），则；（2）令，则由等比数列的求和公式，得，考点：等差数列、等比数列的通项公式及其求和公式点
10、评：简单题，利用已知条件，建立公差的方程，较方便的得到等差数列的通项公式，从而进一步得到数列的前n项和Sn【此处有视频，请去附件查看】18.已知内角的对边分别是，若，.（1）求；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理得，再由余弦定理，列出方程，即可求解得值；（2）由（1）求得，利用三角形的面积公式，即可求解三角形的面积【详解】（1）在中，由正弦定理得，由余弦定理得，解得或不合题意，舍去，（2）由（1）知，所以，所以的面积为【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能
11、够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题19.已知等差数列满足：，的前n项和为（）求及；（）令（）,求数列的前项和【答案】（）; （）【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为，所以有，解得，所以，.（2）由（1）知，所以，所以，即数列的前项和.考点：等差数列的通项公式，前项和公式裂项求和20.已知函数(1)若关于的不等式的解集为,求的值;(2)若对任意恒成立,
12、求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1) 不等式可化为，而解集为，可利用韦达定理或直接代入即可得到答案；（2）法一：讨论和时，分离参数利用均值不等式即可得到取值范围；法二：利用二次函数在上大于等于0恒成立，即可得到取值范围.【详解】（1）法一：不等式可化为，其解集为，由根与系数的关系可知，解得，经检验时满足题意.法二：由题意知，原不等式所对应的方程的两个实数根为和4，将（或4）代入方程计算可得，经检验时满足题意.（2）法一：由题意可知恒成立，若，则恒成立，符合题意若，则恒成立，而，当且仅当时取等号，所以，即.故实数的取值范围为.法二：二次函数的对称轴为. 若，即，函数在上单调
13、递增，恒成立，故；若，即，此时在上单调递减，在上单调递增，由得.故；若，即，此时函数在上单调递减，由得，与矛盾，故不存在.综上所述，实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的性质，不等式恒成立中含参问题，意在考查学生的分析能力，计算能力及转化能力，难度较大.21.如图，在平面四边形中，已知，（1）若，求的长；（2）设，若，求面积的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由余弦定理可得关于的方程，从而可得的长（2）在利用正弦定理可得，利用倍角公式及诱导公式可得或，分类讨论后可得相应的面积表达式，从而得到的面积的最大值.【详解】解：（1）因为，所以在中，由余弦定理可得，即
14、即解得（负值舍去）. （2）在中，由，可得即，所以或，即或，.因为，故或， 因为所以或，所以是等边三角形或直角三角形. 设，在中，由正弦定理可得，故即.当是等边三角形时，；当是直角三角形时，；因为，所以当时，取得最大值1， 因为，所以面积的最大值为【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式，再利用三角变换探求角之间的关系.22.设数列前项和为, 满足 （1）求数列的通项公式；（2）令 求数列的前项和 ；（3）若不等式对任意 恒成立，求实数 的取值范围【答
