常州市2020届高三上学期期末考试 数学 Word版含答案

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1、2020届高三模拟考试试卷数学(满分160分,考试时间120分钟)20201参考公式:锥体的体积公式VSh,其中S是锥体的底面积,h为锥体的高样本数据x1,x2,xn的方差s2(xi)2,其中xi.一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分(第3题)1. 已知集合A1,0,1,Bx|x20,则AB_2. 若复数z满足zi1i(i是虚数单位),则z的实部为_3. 如图是一个算法的流程图,则输出S的值是_4. 函数y的定义域是_5. 已知一组数据17,18,19,20,21,则该组数据的方差是_6. 某校开设5门不同的选修课程,其中3门理科类和2门文科类,某同学从中任选2门课程学习,则该

2、同学“选到文科类选修课程”的概率为_7. 已知函数f(x)则f(f(8)_8. 函数y3sin(2x),x0,取得最大值时自变量x的值为_9. 在等比数列an中,若a11,4a2,2a3,a4成等差数列,则a1a7_10. 已知,则tan 2_11. 在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:1(a0,b0)的右顶点为A,过A作x轴的垂线与C的一条渐近线交于点B.若OB2a,则C的离心率为_12. 已知函数f(x)|lg(x2)|,互不相等的实数a,b满足f(a)f(b),则a4b的最小值为_13. 在平面直角坐标系xOy中,圆C:x22axy22ay2a210上存在点P到点(0,1)的距离为2,则

3、实数a的取值范围是_14. 在ABC中,A,点D满足,且对任意xR,|x|恒成立,则cosABC_二、 解答题:本大题共6小题,共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分) 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a1,cos B.(1) 若A,求sin C的值;(2) 若b,求c的值16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,四边形ABCD是矩形,APAD,点M,N分别是线段PD,AC的中点求证:(1) MN平面PBC;(2) PCAM.17. (本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:1(a

4、b0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆右顶点为A,点F2在圆A:(x2)2y21上(1) 求椭圆C的标准方程;(2) 点M在椭圆C上,且位于第四象限,点N在圆A上,且位于第一象限,已知,求直线F1M的斜率18. (本小题满分16分)请你设计一个包装盒,ABCD是边长为10 cm的正方形硬纸片(如图1),切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图2中的点P,正好形成一个正四棱锥形状的包装盒(如图2),设正四棱锥PEFGH的底面边长为x(cm)(1) 若要求包装盒侧面积S不小于75 cm2,求x的取值范围;(2) 若要求包装盒容积V(cm3)最大,试问

5、x应取何值?并求出此时包装盒的容积19. (本小题满分16分)已知函数f(x)(ax22x)ln xx21(aR)(1) 若曲线yf(x)在x1处的切线的斜率为2,求函数f(x)的单调区间;(2) 若函数f(x)在区间(1,e)上有零点,求实数a的取值范围(e为自然对数的底数,e2.718 28)20. (本小题满分16分)设m为正整数,若两个项数都不小于m的数列An,Bn满足:存在正数L,当nN*且nm时,都有|AnBn|L,则称数列An,Bn是“(m,L)接近的”已知无穷等比数列an满足8a34a21,无穷数列bn的前n项和为Sn,b11,且,nN*.(1) 求数列an通项公式;(2) 求

6、证:对任意正整数m,数列an,a1是“(m,1)接近的”;(3) 给定正整数m(m5),数列,bk(其中kR)是“(m,L)接近的”,求L的最小值,并求出此时的k(均用m表示)(参考数据:ln 20.69)2020届高三模拟考试试卷(五)数学附加题(满分40分,考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A,B,C三小题中只能选做两题,每小题10分,共20分若多做,则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修4-2:矩阵与变换)已知点(a,b)在矩阵A对应的变换作用下得到点(4,6)(1) 写出矩阵A的逆矩阵;(2) 求ab的值B. (选修4-4:坐标系与参数方程

7、)求圆心在极轴上,且过极点与点P(2,)的圆的极坐标方程C. (选修4-5:不等式选讲)求函数y的最小值【必做题】 第22,23题,每小题10分,共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 批量较大的一批产品中有30%的优等品,现进行重复抽样检查,共取3个样品,以X表示这3个样品中优等品的个数(1) 求取出的3个样品中有优等品的概率;(2) 求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)23. 设集合A1,2,Ant|tan3nan13n1a13a0,其中aiA,i0,1,2,n,nN*.(1) 求A1中所有元素的和,并写出集合An中元素的个数;(2) 求证:能将集合An(n2,n

8、N*)分成两个没有公共元素的子集Bsb1,b2,b3,bs和Clc1,c2,c3,cl,s,lN*,使得bbbccc成立2020届高三模拟考试试卷(五)(常州)数学参考答案及评分标准1. 1,12. 13. 104. 0,)5. 26. 7. 8. 9. 6410. 211. 212. 1413. 14. 15. 解:(1) 在ABC中,0B,则sin B0.因为cos B,所以sin B.(3分)在ABC中,ABC,所以sin Csin(AB)sin(AB),(5分)所以sin Csin(B)sin cos Bcos sin B.(8分)(2) 由余弦定理得b2a22accos Bc2,则(

9、)212cc2,(10分)所以c2c10,(c)(c)0.(12分)因为c0,所以c0,即c.(14分)16. 证明:(1) 取PC,BC的中点E,F,连结ME,EF,FN,在三角形PCD中,点M,E为PD,PC的中点,所以EMCD,EMCD.在三角形ABC中,点F,N为BC,AC的中点,所以FNAB,FNAB.因为四边形ABCD是矩形,所以ABCD,ABCD,从而EMFN,EMFN,所以四边形EMNF是平行四边形(4分)所以MNEF,又EF平面PBC,MN平面PBC,所以MN平面 PBC.(6分)(2) 因为PA平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD.因为四边形ABCD是矩形,所以AD

10、CD.(8分)因为PAADA,PA平面PAD,AD平面PAD,所以CD平面PAD.又AM平面PAD,所以CDAM.(10分)因为APAD,点M为PD的中点,所以AMPD.因为PDCDD,PD平面PCD,CD平面PCD,所以AM平面PCD.(12分)又PC平面PCD,所以PCAM.(14分)17. 解:(1) 圆A:(x2)2y21的圆心A(2,0),半径r1,与x轴交点坐标为(1,0),(3,0)点F2在圆A:(x2)2y21上,所以F2(1,0),从而a2,c1,所以b,所以椭圆C的标准方程为1.(4分)(2) 由题可设点M(x1,y1),0x12,y10,点N(x2,y2),x20,y20

11、,则(x12,y1),(x22,y2)由知,点A,M,N共线(5分)由题知直线AM的斜率存在,可设为k(k0),则直线AM的方程为yk(x2)由得或所以N(2,)(7分)由得(34k2)x216k2x16k2120,解得或所以M(,)(10分)代入得(2,)(,),即(4k29)(52k251)0,又k0,解得k,(13分)所以M(1,),又F1(1,0),可得直线F1M的斜率为.(14分)18. 解:(1) 在图1中连结AC,BD交于点O,设BD与FG交于点M,在图2中连结OP.因为ABCD是边长为10 cm的正方形,所以OB10(cm)由FGx,得OM,PMBM10.(2分)因为PMOM,

12、即10,所以0x10.(4分)因为S4FGPM2x(10)20xx2,(6分)由20xx275,得5x15,所以5x10.答:x的取值范围是5x10.(8分)(2) 在RtOMP中,因为OM2OP2PM2,所以OP,VFG2OPx2,0x10.(10分)设f(x)100x410x5,0x10,所以f(x)400x350x450x3(8x)令f(x)0,解得x8或x0(舍去),(12分)列表:x(0,8)8(8,10)f(x)0f(x)极大值所以当x8时,函数f(x)取得极大值,也是最大值,(14分)所以当x8时,V的最大值为.答:当x8 cm时,包装盒容积V最大为(cm3)(16分)19. (

13、1) 函数f(x)的定义域为(0,),f(x)(2ax2)ln x(ax22x)ax2(ax1)ln x2ax22(ax1)(ln x1),(2分)则f(1)2(a1)2,所以a0.(3分)此时f(x)2xln x1,定义域为(0,),f(x)2(ln x1),令f(x)0,解得x;令f(x)0,解得x;所以函数f(x)的单调增区间为(,),单调减区间为(0,)(6分)(2) 函数f(x)(ax22x)ln xx21在区间1,e上的图象是一条不间断的曲线由(1)知f(x)2(ax1)(ln x1),1) 当a0时,对任意x(1,e),ax10,ln x10,则f(x)0,所以函数f(x)在区间1,e上单调递增,此时对任意x(1,e),都有f(x)f(1)10成立,从而函数f(x)在区间(1,e)上无零点;(8分)2) 当a0时,令f(x)0,得x或,其中1,若1,即a1,则对

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