《2020届如皋市、如东县高三上学期期中考试数学（理）试题（word版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届如皋市、如东县高三上学期期中考试数学（理）试题（word版）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、江苏省如皋、如东20192020学年度高三第一学期期中考试数学理科一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知集合A，B1，2，3，则AB 答案：2，32若，则的实部为 答案：13已知(3，4)，3，则 答案：44已知函数，若，则实数 答案：15双曲线(a0，b0)的渐近线方程为，且过点(5，)，则其焦距为 答案：76已知(m，n)为直线上一点，且，则的最小值为 答案：7若函数()的图象关于直线对称，则 答案：8在棱长为6的正方体ABCDA1B1C1D1中，F为棱AD的中点，E为线段CC1上一点，则三棱锥EFDD1的体积为 答案：189已知A0，
2、2，B，若AB，则实数的最大值为 答案：110已知等差数列的公差为2，且，成等比数列，则该等比数列的公比为 答案：11如图，已知点O(0，0)，A(2，0)，P是曲线(0x1)上一个动点，则的最小值是 答案：12已知，x(0，)，则 13已知椭圆(ab0)的离心率，A、B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为、，则的值为 答案：14已知函数，曲线上总存在两点M(，)，N(，)使曲线在M、N两点处的切线互相平行，则的取值范围为 答案：(8，)二、解答题（本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（本
3、题满分14分）在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（1）求角A；（2）若，ABC的面积，求的值解：（1）由，及余弦定理得，又，得 因为ABC为锐角三角形，所以，故（2）因为，根据余弦定理得， 又，解得 所以，即又，所以 根据得，所以，的值为116（本题满分14分）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点（1）求证：AC1平面PBD；（2）求证：BDA1P（1）证明：连结交于点，连结，因为四边形是正方形，对角线交于点 ，所以点是的中点，所以又因为点是侧棱的中点，所以 在中，,所以又因为，所以平面（2）证明：连结.因为为直四棱柱，
4、所以侧棱垂直于底面，又平面，所以因为底面是菱形，所以又，,所以又因为,所以，因为，所以，所以17（本题满分14分）设等差数列的前n项和为，已知1，22（1）求；（2）若从中抽取一个公比为q的等比数列，其中k11，且k1k2kn当q取最小值时，求的通项公式解：（1）设等差数列的公差为，则，解得， 所以.（2）法一：因为ak为公比q的等比数列，所以 又，所以，即，所以.又k11，k1+12，所以是公比q的等比数列，所以. 因为，所以，且公比q为正整数，解得，所以最小的公比所以 法二：因为数列是正项递增等差数列，所以数列的公比，若，则由，得，此时，由，解得，所以，同理； 若，则由，得，此时，另一方面
5、，所以，即，所以对任何正整数，是数列的第项所以最小的公比 所以 18（本小题满分16分） 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆E：(ab0)的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2设直线A1B1倾斜角的余弦值为，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称（1）求椭圆E的离心率；（2）判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；（3）若圆C的面积为，求圆C的方程OA1A2B1B2xy解：（1）设椭圆E的焦距为2c（c0），因为直线的倾斜角的余弦值为，所以， 于是，即，所以椭圆E的离心率 （2）由可设，则，于是的方程为：， 故的中点到的距离， 又以为直径的圆的半径，即有，所以
6、直线与以为直径的圆相切因为圆与以线段为直径的圆关于直线对称，所以直线与圆相切 （3）由圆的面积为知，圆半径为2，从而， 设的中点关于直线：的对称点为，则解得 所以，圆的方程为19（本小题满分16分）如图，有一块半圆形空地，开发商计划建造一个矩形游泳池ABCD及左右两侧两个大小相同的矩形休息区，其中半圆的圆心为O，半径为R，矩形BEFG的一边BG在BC上，矩形AHIJ的一边AH在AD上，点C，D，F，I在圆周上，E，J在直径上，且EOF，设BOC，(，)若每平方米游泳池的造价与休息区造价之比为：1（1）记游泳池及休息区的总造价为，求的表达式；（2）为进行投资预算，当为何值时，总造价最大？并求出总
7、造价的最大值解：（1）设游泳池每平方米的造价为，休息区每平方米造价为，则在矩形中，所以，. 在矩形中，所以，. 所以，.（2）由（1）得， ，因为，所以.令，解得.因为，所以.列表如下：0极大值所以，当时，总造价取得极大值，即最大值为. 20（本小题满分16分）已知函数，（1）若函数在(0，)上单调递增，求实数的取值范围；（2）若直线是函数图象的切线，求的最小值；（3）当时，若直线与函数图象有两个交点，求实数的取值范围解：（1）由，得，则，因为在上单调递增，所以，即，令，在上单调递增，且能取到上一切实数，所以，故实数的取值范围为（2）设切点为，则切线方程为，因为直线是函数图象的切线，所以，所以
8、，令， ，则当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，所以所以的最小值为（3）当时，令，则当时，在上单调递增，在上至多一个零点， 故令方程的大根为，则当时，在上单调递增；当时，在上单调递减因为在上有两个零点，所以，解得（构造函数，根据单调性求解），所以 取，则，根据零点存在性定理，在上至少有一个零点，又在上单调递增，所以在上只有一个零点 同理，在上只有一个零点综上，实数的取值范围为.数学（附加题）21【选做题】本题包括A、B、C共3小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤21A选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
9、已知矩阵（1）求；（2）求解：（1）因为，所以.（2）因为，所以. 所以. B选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，圆的圆心坐标为，半径为2 以极点为原点，极轴为的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线的参数方程为为参数（1）求圆的极坐标方程；（2）设与圆的交点为， 与轴的交点为，求解：（1）设为圆上任意一点，则x圆的圆心坐标为，半径为2，得圆过极点，所以，即，所以圆的极坐标方程为 （2）由（1）得，即，根据，得，即（*）设,将直线的参数方程代入（*），整理得所以， 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
10、说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）已知，记（1）；（2）求解： 由得.同理， （2）由（1）得，当时，当时，；当时，当时，.所以，所以， 23（本小题满分10分）已知Sn1（1）求S2，S4的值；（2）若Tn，试比较与Tn的大小，并给出证明解：（1）S21，S41 （2）当n1，2时，T1，T2，所以，Tn 当n3时，T3，S81T3 于是，猜想，当n3时，Tn 下面用数学归纳法证明： 当n=3时，结论成立；假设nk(k3)时结论成立，即Tk； 当nk1时，（）（）2k12k1，当nk1时，Tn根据、可知，对任意不小于3的正整数n，都有Tn综上，当n1，2时，=Tn；当n3时，Tn10页
