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1、2020届天津市一模数学试题一、单选题1设集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】求解出集合，根据补集定义求得，利用交集定义求得结果.【详解】当时，即本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的补集、交集运算的问题，属于基础题.2若点在函数的图象上，则（ ）ABCD【答案】D【解析】将点代入函数解析式可求得，根据特殊角三角函数值可求得结果.【详解】由题意知：，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，关键是能够利用点在函数上求得参数的取值，属于基础题.3若的三个内角，满足，则是（ ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D以上都有可能【答案】C【解析】根据正弦定理可得三边关系，利用
2、余弦定理可求得，从而得到三角形为钝角三角形.【详解】由正弦定理可得：，则，由余弦定理可知：又 为钝角三角形本题正确选项：【点睛】本题考查三角形形状的判断，关键是能够灵活运用正余弦定理，通过最大角的余弦值的符号确定三角形形状.4已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为( )ABCD【答案】D【解析】设圆心坐标为，根据圆与直线相切可求出，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程【详解】由题意设圆心坐标为，圆与直线相切，解得a=2圆心为，半径为，圆C的方程为（x2）2+y2=4，即故选D【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方
3、程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度5在等比数列中，公比为，则“”是“等比数列为递增数列”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当时，当时，可知等比数列不是递增数列，得不充分条件；当等比数列为递增数列时，当时，得不必要条件；综上可得结果.【详解】当时，若，则，则，此时等比数列不是递增数列“”是“等比数列为递增数列”的不充分条件；当等比数列为递增数列时，此时，即若，则，此时“等比数列为递增数列”是“”的不必要条件；综上所述：“”是“等比数列为递增数列”的既不充分也不必要条件本题正确选项：【点睛】本题考
4、查充分条件、必要条件的判定，关键是通过等比数列的通项公式的形式判断出数列为递增数列和公比之间的关系.6已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则，的大小关系为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据奇偶性可判断出在上单调递增，并能将变为；根据自变量的大小关系，结合函数单调性可得结果.【详解】函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减在上单调递增则： 即：本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数的性质比较大小的问题，关键是能够根据奇偶性得到函数的单调性，进而将问题转变为自变量的大小的比较.7已知函数，若，且，则取最大值时的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据可求得的范围；利用可知关于对称，从而
5、可得的取值；二者结合求得，代入函数解析式，令解出即为结果.【详解】由得：，即： 由得：关于对称 ，又 当，即时，取最大值本题正确选项：【点睛】本题考查根据三角函数的性质求解函数解析式、根据函数的最值求解自变量取值的问题，关键是能够判断出函数的对称轴，并能够根据函数值的大小关系得到的范围.8在矩形中，设矩形所在平面内一点满足，记，则（ ）A存在点，使得B存在点，使得C对任意点，都有D对任意点，都有【答案】C【解析】以为原点建立平面直角坐标系，可知点轨迹方程为；利用坐标表示出和，利用的取值范围和三角函数的知识可求得结论.【详解】以为原点，可建立如下图所示的平面直角坐标系：则点轨迹是以为圆心，为半径
6、的圆；，设，则又， ，即又，设则，其中 即，即综上所述，对于任意点，都有，本题正确选项：【点睛】本题考查平面向量的应用问题，关键是能够通过建立平面直角坐标系的方式，将问题转化为坐标运算的问题；通过作差法比较大小，利用求解函数值域的方式来确定大小关系.二、填空题9设复数满足，则_【答案】.【解析】求解出复数，根据模长的定义可求得结果.【详解】由题意得：本题正确结果：【点睛】本题考查复数的模长的求解问题，属于基础题.10已知三棱锥的侧棱，两两垂直，且长度均为1，若该三棱锥的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为_【答案】【解析】利用三线垂直确定三棱锥为正方体的一部分，其外接球直径为正方体的体对角线
7、长，可得半径和表面积【详解】由三棱锥PABC的侧棱PA，PB，PC两两垂直可知，该三棱锥为棱长为1的正方体的一角，其外接球的直径为正方体的体对角线长：，故球O的表面积为：3故答案为3【点睛】此题考查了几何体外接球问题，难度不大与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.11若不等式在内有解，则实数的取值范围是_【答案】.【解析】将问题转换为与在内有交点；分类讨论去掉
8、原不等式中的绝对值符号，利用导数求解出在不同区间内的单调性，从而可得的图象；由于直线恒过点，通过图象可知当直线过时为临界状态，求出临界状态时的取值，从而得到取值范围.【详解】当时，此时不等式为：当时，此时不等式为：令，则，当时，；时，即在上单调递增；在上单调递减令，则，当时，在上单调递增由此可得：的图象如下图所示：可知：则不等式在内有解等价于与在内有交点直线恒过点当直线过点时为临界状态，此时当时，不等式在内有解本题正确结果：【点睛】本题考查根据不等式在某一区间解的个数的情况求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为曲线和直线的交点问题，通过数形结合的方式来进行求解；其中涉及到利用导数来判断函数
9、的单调性，从而得到函数的大致图象.12如图，已知，为的中点，分别以，为直径在的同侧作半圆，分别为两半圆上的动点（不含端点，），且，则的最大值为_【答案】【解析】分析：以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，求得的坐标，可得以为直径的半圆方程，以为直径的半圆方程，设出的坐标，由向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变换可得，再由余弦函数、二次函数的图象和性质，计算可得最大值详解：以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，可得以为直径的半圆方程为 以为直径的半圆方程为（ ，设 可得 即有 即为 即有 可得 ，即 ，则 可得 即时， 的最大值为，故答案为点睛：本题考查向量
10、的坐标运算，向量的数量积的坐标表示以及圆的参数方程的运用，三角函数的恒等变换，考查余弦函数的性质，考查运算能力，属于中档题13已知正实数，满足，则的最小值为_【答案】【解析】构造与已知条件有关的等式关系x+y=，利用基本不等式的性质即可解决【详解】x0，y0，2x+y0，2x+3y0，x+y0， +=1，x+y=，那么：x+y=（x+y）1=（+）=（1+）=1，当且仅当2x=y=时取等号所以：x+y故x+y的最小值为故答案为【点睛】本题考查了整体思想的构造和转化构造出与已知条件的形式利用基本不等式的性质求解属于中档题14某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节
11、课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有_种【答案】474.【解析】采用间接法，首先求解出任意安排节课的排法种数；分别求出前节课连排节和后节课连排3节的排法种数；作差即可得到结果.【详解】从节课中任意安排节共有：种其中前节课连排节共有：种；后节课连排3节共有：种老师一天课表的所有排法共有：种本题正确结果：【点睛】本题考查有限制条件的排列问题的求解，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.三、解答题15已知向量，（）求函数的单增区间；（）若，求的值；（）在中，角，所对的边分别为，且满足，求函数的范围【答案】（）;（）;（）【解析】试题分析：（1）利用平面向量的数
12、量积得到f（x）的解析式，求解单调区间即可；（2）由（1）的解析式，利用f（x）=1，结合倍角公式求的值即可；（3）结合正弦定理结合内角和公式，得到fA的解析式，结合三角函数的有界性求值域即可试题解析：（），由，得：，的递增区间是（），（）由正弦定理得，又故函数的取值范围是【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即
13、可16某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计所示活动次数123参加人数51520（）从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有两名同学参加活动次数恰好相等的概率；（）从“青志队”中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望【答案】（1）（2）略【解析】()这名同学中至少有名同学参加活动次数恰好相等的概率为4分5分()由题意知6分7分8分的分布列：01210分的数学期望:12分17如图，在四棱锥P-ABCD中，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=ADE为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（）见解析；（） .【解析】试题分析：本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平
