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1、 2 与布朗运动有关的随机过程 过程1 d维布朗运动 1 相关函数 均值函数 布朗运动是一个高斯过程 性质 带漂移的布朗运动的民用航空发动机实时性能可靠性预测 航空动力学报2009 Vol 1 No 12 任淑红 2 布朗运动是一个高斯过程 证明 则 3 过程3 布朗桥 均值函数 相关函数 性质 从0到0的布朗桥是高斯过程 4 例设常数 定义从a到b的布朗桥 证明 2 从a到b的布朗桥是高斯过程 且 5 布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的作用 设X1 X2 Xn 独立同分布 Xn U 0 1 对0 s 1 记 Nn s 表示前n个X1 X2 Xn中取值不超过s的个数 称Fn s 为经验分
2、布函数 显然Nn s B n s 由强大数定理有 补充 布朗桥在统计中的应用 6 由格利汶科 康泰利定理可以得到更强的结果 即Fn s 以概率1一致地收敛于s 则 7 所以的极限过程是一正态过程 可以证明的联合分布趋于二维正态分布 8 所以当n 时 的极限过程即为布朗桥过程 一般的 设X1 X2 Xn 独立同分布 F x 为分布函数 则随机变量F Xi U 0 1 记 类似可讨论的极限分布 9 过程 4 几何布朗运动 指数布朗运动 均值函数 相关函数 股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬 10 11 12 过程5 反射布朗运动 均值函数 13 14 过程6 奥恩斯坦 乌伦贝克过程 其中 均值
3、函数 相关函数 15 补充 随机变量序列或随机过程均方极限均方连续均方可导均方可积 16 1 均方极限的定义 定义设 如果 则称 Xn n 1 2 均方收敛于X 或称X为 Xn n 1 2 的均方极限 记为 17 2均方连续 若对任意的t T X t t T 在t处均方连续 则称 X t t T 在T上均方连续 或称 X t t T 是均方连续的 1 均方连续定义 18 3均方导数 1 均方导数的定义 19 4均方积分 1 均方积分的定义 设 X t t a b 是二阶矩过程 f t u 是 a b U上的普通函数 对区间 a b 任一划分 作和式 如果以下均方极限存在 20 该均方极限值Y u 称为 在 a b 上的均方积分 在 a b 上均方可积 记为 即 21 22 23 七 布朗运动的导数过程 24 25 八 布朗运动的积分过程 积分布朗运动是正态过程 26 九 在某点被吸收的布朗运动 27 本章作业1 2 3 6 8 28 举例 1 写出 2 布朗运动的均值向量和协方差矩阵 2 计算标准布朗运动的二维分布函数及其密度函数 3 写出W 1 W 2 W 3 W 4 的分布 29
