《2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理（北京卷参考解析）（通用）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理（北京卷参考解析）（通用）（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、绝密本科目考试启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合A=x|2x1，B=x|x1或x3，则AB=（A）x|2x1 （B）x|2x3（C）x|1x1 （D）x|1x3【答案】A【解析】，故选A.（2）若复数（1i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（A）（，1） （B）（，1）（C）（1
2、，+） （D）（1，+）【答案】B【解析】，因为对应的点在第二象限，所以 ，解得：，故选B.（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）2 （B） （C） （D）【答案】C【解析】时，成立，第一次进入循环，成立，第二次进入循环，成立，第三次进入循环， 否，输出，故选C.（4）若x，y满足 则x + 2y的最大值为（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D【解析】如图，画出可行域，表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.（5）已知函数，则（A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数（C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函
3、数【答案】A【解析】，所以函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.（6）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，使，即两向量反向，夹角是，那么，反过来，若，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选A.（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）3 （B）2 （C）2 （D）2【答案】B【解析】几何体是四棱锥，如图红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方
4、体的对角线，故选B.（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg30.48）（A）1033 （B）1053（C）1073 （D）1093【答案】D【解析】设 ，两边取对数，所以，即最接近，故选D.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若双曲线的离心率为，则实数m=_.【答案】2【解析】（10）若等差数列和等比数列满足a1=b1=1，a4=b4=8，则=_.【答案】1【解析】（11）在极坐标系中，点A在圆上，点P的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为
5、_.【答案】1【解析】 ，所以（12）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=_.【答案】【解析】（13）能够说明“设a，b，c是任意实数若abc，则a+bc”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_【答案】-1，-2，-3解析】（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_.记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的
6、零件数，则p1，p2，p3中最大的是_.【答案】；三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）在ABC中， =60，c=a.（）求sinC的值；（）若a=7，求ABC的面积.【答案】（1）根据正弦定理（2）当时ABC中（16）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD/平面MAC，PA=PD=，AB=4（I）求证：M为PB的中点；（II）求二面角B-PD-A的大小；（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值【答案】（1）连接AC，BD.连接OMPD平面MAC且平面PBD
7、平面MAC=MOPDMOO为BD中点M为PB中点（2）取AD中点E，连接PEPA=PDPEAD又平面PAD平面ABCD且平面PAD平面ABCD=ADPE平面ABCD建立如图所示坐标系则B(-2，4，0) P(0，0，) D(2，0，0) A(-2，0，0)易知平面PDA的法向量设平面BPD的法向量，则二面角B-PD-A的平面角（17）（本小题13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示为服药者.（）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值
8、小于60的概率；（）从图中A，B，C，D四人中随机.选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E（）；（）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）分布列如下012p ，即所求数学期望为1.（）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大。（18）（本小题14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点.（）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：A为线
9、段BM的中点.【答案】（）把P（1,1）代入y2=2Px得P=C:y2=x焦点坐标（，0）准线：x=-。（）设l：y=kx+，A（x1，y1），B(x2，y2)，OP：y=x，ON：y=，由题知A(x1，x1)，B(x1，)k2x2+（k-1）x+=0，x1+x2=，x1x2=。，由x1+x2=，x1x2=，上式A为线段BM中点。（19）（本小题13分）已知函数f（x）=excosxx.（）求曲线y= f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）求函数f（x）在区间0，上的最大值和最小值.【答案】（）f(x)=excosxxf(0)=1f(x)=ex（cosxsinx）1f(0)=0y=f(x
10、)在（0，f(0)）处切线过点（0,1），k=0切线方程为y=1（）f(x)=ex（cosx-sinx）1，设f(x)=g(x)g(x)=2sinxex0 g(x)在0，上单调递减，g(x)g(0)=0 f（x）0f(x)在0，上单调递减，f(x)max=f(0)=1 f(x)min=f()=（20）（本小题13分）设和是两个等差数列，记，其中表示这个数中最大的数（）若，求的值，并证明是等差数列；（）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列【答案】（）当时，所以，对于且，都有，只需比较与其他项的大小比较当且1k0,且2-n0, 所以所以 对于且=1-n所以 又所以是以首项d=-1为公差的等差数列。（）（1）设、的公差为， 对于其中任意项（,1in）若则对于给定的正整数n，此时，故数列为等差数列若则对于给定正整数n，此时，数列为等差数列(3)若此时为一个关于n的一次函数，故必存在，当nS，则当nS时，因此当nS时，此时，令,下证：对任意正数M，存在,当nm时取取 (x取不大于x的整数)nm时，=A()+BA成立若C0，取当nm时，成立综上，对任意正整数M存在，当nm时命题得证.
