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1、2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理（天津卷，含答案）参考公式：。如果事件A，B互相排斥，那么P（AUB）=P（A）+P(B)。棱柱的体积公式V=sh。其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高一、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1） i是虚数单位，=（A）1+2i （B）-1-2i （C）1-2i （D）-1+2i（2）设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为（A）6 （B）7 （C）8 （D）23（3）命题“存在R，0”的否定是（A）不存在R, 0 （B）存在R, 0 （C）对任意的R, 0 （D）对任意的R, 0（4）设函数则A在
2、区间内均有零点。B在区间内均无零点。C在区间内有零点，在区间内无零点。D在区间内无零点，在区间内有零点。（5）阅读右图的程序框图，则输出的S= A 26 B 35 C 40 D 57(6）设若的最小值为 A 8 B 4 C 1 D （7）已知函数的最小正周期为，为了得到函数 的图象，只要将的图象 A 向左平移个单位长度 B 向右平移个单位长度 C 向左平移个单位长度 D 向右平移个单位长度（8）已知函数若则实数的取值范围是 A B C D （9）设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的成面积之比=（A） （B） （
3、C） （D）（10）.0b1+a,若关于x 的不等式的解集中的整数恰有3个，则（A）-1a0 （B）0a1 （C）1a3 （D）3a6二填空题：（6小题，每题4分，共24分）（11）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调 查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取 一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取_名学生。（12）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=_(13) 设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为_(14)若圆与圆（a0）的公共弦的长为，则a=_(15)在四边
4、形ABCD中，=（1，1），则四边形ABCD的面积是 （16）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）在ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA(I) 求AB的值：(II) 求sin的值（18）（本小题满分12分）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。从这10件产品中任取3件，求：（I） 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；（II） 取出的3件产品中一等品件数多于二等品
5、件数的概率。（19）（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。（20）（本小题满分12分） 已知函数其中（1） 当时，求曲线处的切线的斜率；（2） 当时，求函数的单调区间与极值。（21）（本小题满分14分） 以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。（1） 求椭圆的离心率；（2） 求直线AB的斜率； （3） 设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆
6、上，求的值 （22）（本小题满分14分）已知等差数列的公差为d（d0），等比数列的公比为q（q1）。设=+.+ ,=-+.+(-1 ,n(I) 若= 1，d=2，q=3，求 的值；(II) 若=1，证明（1-q）-（1+q）=，n；() 若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ， 证明。2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一 选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。（1）D （2）B （3）D （4）D （5） C（6）B （7）A （8）C （9）A （10）C二填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分24分。（11） 40
7、 （12） （13）（14） 1 （15） （16）324三解答题（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。（）解：在ABC中，根据正弦定理，于是AB=（）解：在ABC中，根据余弦定理，得cosA=于是 sinA= 从而sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A= 所以 sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin=(18)本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。（）解
8、：由于从10件产品中任取3件的结果为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)= ,k=0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是X0123PX的数学期望EX=（）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2，”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1A2A3而P(A2)=P(X=2)= ,P(A3)=P(X=3)= ,所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)=P(A1)+
9、P(A2)+P(A3)= +=(19)本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12分.方法一：（）解：由题设知，BF/CE，所以CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EPPC，EPAD。由ABAD，可得PCAD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故CED=60。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60（II
10、）证明：因为（III）由（I）可得，方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得 （I） 所以异面直线与所成的角的大小为.（II）证明： ，（III）又由题设，平面的一个法向量为（20）本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。（I）解：（II）以下分两种情况讨论。（1），则.当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值（2），则，当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值（21）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的
11、性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分（I） 解：由/且，得，从而 整理，得，故离心率（II） 解：由（I）得，所以椭圆的方程可写为 设直线AB的方程为，即. 由已知设，则它们的坐标满足方程组消去y整理，得.依题意，而 由题设知，点B为线段AE的中点，所以 联立解得，将代入中，解得.(III)解法一：由（II）可知当时，得，由已知得.线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组 ， 由解得故当时，同理可得.解法二：由（II）可知当时，得,由已知得由椭圆的对称性可知B，C三点共线，因为点H（m，n）在的外接圆上，且，所以四边形为等腰梯形. 由直线的方程为,知点H的坐标为.因为，所以，解得m=c（舍），或.则，所以.当时同理可得（22）本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。（）解：由题设，可得所以，（）证明：由题设可得则 式减去式，得 式加上式，得 式两边同乘q，得 所以， ()证明： 因为所以 （1） 若，取i=n（2） 若，取i满足且由（1）,(2)及题设知，且 当时，得即，又所以 因此 当同理可得，因此综上，
