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1、Copyright ZhenlongZheng2003 DepartmentofFinance XiamenUniversity 第十三章期权的定价第一节期权价格的特性 一 内在价值和时间价值期权价格等于期权的内在价值加上时间价值 一 期权的内在价值期权的内在价值 IntrinsicValue 是指多方行使期权时可以获得的收益的现值 欧式看涨期权的内在价值为 ST X 的现值 无收益资产欧式看涨期权的内在价值等于S Xe r T t 而有收益资产欧式看涨期权的内在价值等于S D Xe r T t 无收益资产美式看涨期权价格等于欧式看涨期权价格 其内在价值也就等于S Xe r T t 有收益资产
2、美式看涨期权的内在价值也等于S D Xe r T t Copyright ZhenlongZheng2003 DepartmentofFinance XiamenUniversity 无收益资产欧式看跌期权的内在价值为Xe r T t S 有收益资产欧式看跌期权的内在价值为Xe r T t D S 无收益资产美式期权的内在价值等于X S 有收益资产美式期权的内在价值等于X D S 当然 当标的资产市价低于协议价格时 期权多方是不会行使期权的 因此期权的内在价值应大于等于0 Copyright ZhenlongZheng2003 DepartmentofFinance XiamenUnivers
3、ity 二 期权的时间价值期权的时间价值 TimeValue 是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值 显然 标的资产价格的波动率越高 期权的时间价值就越大 此外 期权的时间价值还受期权内在价值的影响 以无收益资产看涨期权为例 当S Xe r T t 时 期权的时间价值最大 当S Xe r T t 的绝对值增大时 期权的时间价值是递减的 如图13 1所示 Copyright ZhenlongZheng2003 DepartmentofFinance XiamenUniversity Copyright ZhenlongZheng2003 Departmento
4、fFinance XiamenUniversity 二 期权价格的影响因素 一 标的资产的市场价格与期权的协议价格 二 期权的有效期 三 标的资产价格的波动率 四 无风险利率 五 标的资产的收益 Copyright ZhenlongZheng2003 DepartmentofFinance XiamenUniversity 三 期权价格的上 下限 一 期权价格的上限1 看涨期权价格的上限在任何情况下 期权的价值都不会超过标的资产的价格 因此 对于对于美式和欧式看跌期权来说 标的资产价格都是看涨期权价格的上限 13 1 其中 c代表欧式看涨期权价格 C代表美式看涨期权价格 S代表标的资产价格 C
5、opyright ZhenlongZheng2003 DepartmentofFinance XiamenUniversity 2 看跌期权价格的上限由于美式看跌期权多头执行期权的最高价值为协议价格 X 因此 美式看跌期权价格 P 的上限为X 13 2 由于欧式看跌期权只能在到期日 T时刻 执行 在T时刻 其最高价值为X 因此 欧式看跌期权价格 p 不能超过X的现值 13 3 其中 r代表T时刻到期的无风险利率 t代表现在时刻 Copyright ZhenlongZheng2003 DepartmentofFinance XiamenUniversity 二 期权价格的下限 1 欧式看涨期权价
6、格的下限 1 无收益资产欧式看涨期权价格的下限为了推导出期权价格下限 我们考虑如下两个组合 组合A 一份欧式看涨期权加上金额为的现金 组合B 一单位标的资产T时刻 组合A的价值为 而组合B的价值为ST Copyright ZhenlongZheng2003 DepartmentofFinance XiamenUniversity 由于 因此 在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B 即 c Xe r T t S所以c S Xe r T t 由于期权的价值一定为正 因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为 13 4 2 有收益资产欧式看涨期权价格的下限我们只要将上述组合A的现金改为 D 并经过类似的推
7、导 就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为 13 5 Copyright ZhenlongZheng2003 DepartmentofFinance XiamenUniversity 2 欧式看跌期权价格的下限 1 无收益资产欧式看跌期权价格的下限考虑以下两种组合 组合C 一份欧式看跌期权加上一单位标的资产组合D 金额为的现金在T时刻 组合C的价值为 max ST X 假定组合D的现金以无风险利率投资 则在T时刻组合D的价值为X 由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D 因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D 即 Copyright ZhenlongZheng2003 Departmen
8、tofFinance XiamenUniversity 由于期权价值一定为正 因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为 13 6 2 有收益资产欧式看跌期权价格的下限我们只要将上述组合D的现金改为 D就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为 13 7 从以上分析可以看出 欧式期权的下限实际上就是其内在价值 Copyright ZhenlongZheng2003 DepartmentofFinance XiamenUniversity 四 提前执行美式期权的合理性 一 提前执行无收益资产美式期权的合理性1 看涨期权由于现金会产生收益 而提前执行看涨期权得到的标的资产无收益 再加上美式期权的时间价值
9、总是为正的 因此我们可以直观地判断提前执行是不明智的 为了精确地推导这个结论 我们考虑如下两个组合 组合A 一份美式看涨期权加上金额为的现金组合B 一单位标的资产T时刻组合A的价值为max ST X 而组合B的价值为ST 可见组合A在T时刻的价值一定大于等于组合B 即如果不提前执行 组合A的价值一定大于等于组合B Copyright ZhenlongZheng2003 DepartmentofFinance XiamenUniversity 若在时刻提前执行 则此时组合A的价值为 而组合B的价值为 由于因此即 若提前执行美式期权 组合A的价值将小于组合B 比较两种情况可得 提前执行无收益资产美
10、式看涨期权是不明智的 因此 同一种无收益标的资产的美式看涨期权和欧式看涨期权的价值是相同的 即 C c 13 8 根据 13 4 我们可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限 13 9 Copyright ZhenlongZheng2003 DepartmentofFinance XiamenUniversity 2 看跌期权为考察提前执行无收益资产美式看跌期权是否合理 我们考察如下两种组合 组合A 一份美式看跌期权加上一单位标的资产组合B 金额为的现金若不提前执行 则到T时刻 组合A的价值为max X ST 组合B的价值为X 组合A的价值大于等于组合B 若在t时刻提前执行 则组合A的价值为X
11、 组合B的价值为Xe T 因此组合A的价值也高于组合B Copyright ZhenlongZheng2003 DepartmentofFinance XiamenUniversity 故 是否提前执行无收益资产的美式看跌期权 主要取决于期权的实值额 X S 无风险利率水平等因素 一般来说 只有当S相对于X来说较低 或者r较高时 提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的 由于美式期权可提前执行 因此其下限比 13 6 更严格 13 10 Copyright ZhenlongZheng2003 DepartmentofFinance XiamenUniversity 二 提前执行有收益资产美
12、式期权的合理性1 看涨期权由于在无收益的情况下 不应提前执行美式看涨期权 据此可知 在有收益情况下 只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权方有可能是最优的 我们先来考察在最后一个除权日 tn 提前执行的条件 如果在tn时刻提前执行 则期权多方获得Sn X的收益 若不提前执行 则标的资产价格将由于除权降到Sn Dn 根据式 13 5 在tn时刻期权的价值 Cn Copyright ZhenlongZheng2003 DepartmentofFinance XiamenUniversity 因此 如果 即 13 11 则在tn提前执行是不明智的 相反 如果 13 12 则在tn提前执行有可能是
13、合理的 实际上 只有当tn时刻标的资产价格足够大时 提前执行美式看涨期权才是合理的 同样 在ti时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是 13 13 由于存在提前执行更有利的可能性 有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权 其下限为 13 14 Copyright ZhenlongZheng2003 DepartmentofFinance XiamenUniversity 2 看跌期权由于提前执行有收益资产的美式期权意味着自己放弃收益权 因此收益使美式看跌期权提前执行的可能性变小 但还不能排除提前执行的可能性 通过同样的分析 我们可以得出美式看跌期权不能提前执行的条件是 由于美式
14、看跌期权有提前执行的可能性 因此其下限为 13 15 Copyright ZhenlongZheng2003 DepartmentofFinance XiamenUniversity 五 期权价格曲线的形状 一 看涨期权价格曲线无收益资产看涨期权价格曲线如图13 2所示 有收益资产看涨期权价格曲线与图13 2类似 只是把Xe r T t 换成Xe r T t D Copyright ZhenlongZheng2003 DepartmentofFinance XiamenUniversity 二 看跌期权价格曲线1 欧式看跌期权价格曲线无收益资产欧式看跌期权价格曲线如图13 3所示 图13 3无
15、收益资产欧式看跌期权价格曲线有收益资产期权价格曲线与图13 3相似 只是把换为 Copyright ZhenlongZheng2003 DepartmentofFinance XiamenUniversity 2 美式看跌期权价格曲线无收益资产美式看跌期权价格曲线如图13 4所示 有收益美式看跌期权价格曲线与图13 4相似 只是把X换成D X Copyright ZhenlongZheng2003 DepartmentofFinance XiamenUniversity 六 看涨期权与看跌期权之间的平价关系 一 欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系1 无收益资产的欧式期权考虑如下两个组合 组合
16、A 一份欧式看涨期权加上金额为的现金组合B 一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产在期权到期时 两个组合的价值均为max ST X 由于欧式期权不能提前执行 因此两组合在时刻t必须具有相等的价值 即 13 16 这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系 它表明欧式看涨期权的价值可根据相同协议价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来 反之亦然 如果式 13 16 不成立 则存在无风险套利机会 套利活动将最终促使式 13 16 成立 Copyright ZhenlongZheng2003 DepartmentofFinance XiamenUniversity 2 有收益资产欧式期权 在标的资产有收益的情况下 我们只要把前面的组合A中的现金改为 D 我们就可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系 13 17 Copyright ZhenlongZheng2003 DepartmentofFinance XiamenUniversity 二 美式看涨期权和看跌期权之间的关系1 无收益资产美式期权 由于P p 从式 13 16 中我们可得 对于无
