SSP第1章金属自由电子

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1、1 第一章金属自由电子理论 2 目录1 1金属经典电子气理论1 2索末菲量子电子气理论1 3量子力学及复数基本知识1 4量子电子气的基态性质1 5量子电子气的热性质 3 本课程从金属自由电子理论开始的原因1 固体物理学中最简单和最成功的模型 2 金属是最基本的物质状态之一 如 2 3元素为金属 3 引入固体物理学最基本理论和最重要概念 如 量子力学理论 周期性边界条件 状态 波矢k 空间 本章涉及金属态的二个基本物理模型1 特鲁德 P Drude 模型 经典论模型 2 索末菲 A Sommerfeld 模型 量子模型 学习重点 注重模型的建立和完善过程及主要结论 4 模型产生背景 18世纪末

2、1 人们已熟悉金属导电和导热特性 2 汤姆逊1897年发现金属中存在电子 e m测定 3 分子运动论处理理想气体十分成功 1 1金属的经典电子气理论 1 1 1特鲁德模型及其基本假设 特鲁德处理方法 1 金属原子结构 离子实和价电子构成 离子实 原子核 封闭壳层内电子 芯电子 价电子 封闭壳层外电子 2 金属凝胶模型 离子实系统 传导电子系统 即 离子实无规堆积在一起 价电子在整个金属中自由运动 一个理想气体的模型 5 1 1金属的经典电子气理论 1 1 1特鲁德模型及其基本假设 价电子 封闭壳层外电子 eZa为金属原子正电荷数 e Za Z 为芯电子数 eZ为价电子数 特鲁德金属凝胶模型 理

3、想气体模型 离子实 原子核 封闭壳层内电子 芯电子 离子实无规堆积在一起 价电子在整个金属中自由运动 6 3 计算传导电子浓度设 金属原子量为A 质量密度为 m 则 每立方厘米金属的摩尔数为 m A另设 每个金属原子提供价电子为Z 则 根据摩尔金属原子数0 6022 1024 每立方厘米金属的传导电子浓度为 上式中V N分别为金属的体积和总传导电子数目 定义 电子半径rs 每个电子平均占据以rs为半径的球 实验测得一般金属n为1023 m3量级 比理想气体标准状态大了103倍 rs为10 1nm量级 1 1金属的经典电子气理论 1 1 1特鲁德模型及其基本假设 7 4 适当假设 电子气系统服从

4、理想气体运动学理论 1 无碰撞时 电子 电子 电子 离子实无相互作用 则 无外场时 电子做匀速直线运动 有外场时 服从牛顿定律 独立自由电子近似 总能量为动能之和 无势能 2 碰撞改变电子速度 忽略电子 电子碰撞 碰撞由电子碰到离子实反弹构成 3 单位时间内电子发生碰撞几率为1 为二次碰撞平均间隔 弛豫 时间 并令 与电子位置及速度无关 4 电子与环境的热平衡由碰撞实现 碰撞前后电子速度无关联 方向随机 大小与碰撞处的温度相适应 给出自由独立电子假设 给出运动状态改变机制 给出电子平均自由程计算方法 给出热平衡实现途径 1 1金属的经典电子气理论 1 1 1特鲁德模型及其基本假设 8 例1 成

5、功解释了金属直流电导 给出欧姆定律 设 金属电子密度n 平均速度V平 则 电流密度无外场时 由理想气体分子无规运动 V平 0有外场时 电子附加定向速度 V平 0 线性关系微观解释 1 1金属的经典电子气理论 1 1 2特鲁德模型的成功与失败 全部电子求平均 代入欧姆定律 即 第二次碰撞前速度为 考察一个电子 在电场E下受力 eE作用 并设二次碰撞间有t时间的自由程 首次碰撞后速度为V0 与无场下一致 9 例2 自洽解释金属电子弛豫时间和平均自由程 已由上例知 实验测定m n e和 可得如 金属铜 当T 273K 1 56 cm 有根据 经典论能均分定律 得金属铜平均速度 求平均自由程 为1nm

6、以下 恰为金属原子间距 金属电子自由程数量级与特鲁德模型自洽 电子只与离子实碰撞 电子平均程与金属离子实间隔同数量级 但是 在低温下的实验表明 金属电子平均自由程可达十几个nm 将由量子力学解释 1 1金属的经典电子气理论 1 1 2特鲁德模型的成功与失败 10 例3 无法解释金属低温比热实验结果根据理想气体服从的玻尔兹曼统计规律 每个电子平均能量服从能均分定律 金属电子气内能密度可求出电子比热为结果与温度无关 但是 精确的实验数据表明 在低温下 电子对金属比热的贡献与温度的一次方成正比 即 将由量子力学模型及费米统计规律来解释 1 1金属的经典电子气理论 1 1 2特鲁德模型的成功与失败 1

7、1 1 2金属的量子电子气理论 1 2 1索末菲模型及其与特鲁德模型的区别 相同点 均视价电子为理想电子气 无相互作用 各自独立地在平均势场 可取为势能零点 中运动 区别点 1 电子运动服从量子力学 电子具有波粒二象性 运动由薛定鄂方程描述 在经典理论中 电子运动服从牛顿力学方程 2 电子状态的分布 服从泡里不相容原理及费米统计分布 在经典理论中 电子能量状态的分布 服从玻尔兹曼分布 3 电子能量具有基态性质和激发态性质 在经典理论中 电子能量服从能均分定律 随温度成线性连续变化 12 一 光的波粒二象性和微粒的波粒二象性 1 十九世纪末 经典物理学已相当完善1 机械运动 牛顿定律 理论力学2

8、 电磁现象 麦克斯韦方程 电动力学3 光的现象 线性光学及衍射理论4 热的现象 热力学及统计物理学似乎所有物理现象都可以得到合理解释 但是 不久物理学家遇到了新的问题 1 2金属的量子电子气理论 1 2 2量子力学及复数基本知识复习 13 2 光电效应1 光照射金属 有电子从表面逸出 光电子产生 2 光电子能否产生与光强度无关 只当光频率大于一定值 才能有光电子产生 3 光电子能量与光强度 亮度 无关 光频率越高 光电子能量越大 爱因斯坦用光量子化假设给出了光电效应合理解释 他认为 1 光吸收和发射 以光量子 微粒 形式表现 称为光子 2 光子具有动量和能量 与光的频率和波矢的关系为 1 2金

9、属的量子电子气理论 1 2 2量子力学及复数基本知识复习 14 3 电子衍射现象 电子衍射花样 同时释放和单个连续释放有完全相同电子衍射花样 重要特征 1 电子波的属性 2 电子在空间和时间上出现几率服从确定的统计分布规律 几率波 微观粒子的波粒二象性 德布罗意假说德布罗意关系式 1 2金属的量子电子气理论 1 2 2量子力学及复数基本知识复习 15 由k是常数 有k r 常数必有平面波 4 自由粒子的波函数描述因为是自由粒子 其粒子属性E P是常数 由德布罗意关系 其波的属性 k也是常数 所以 自由粒子的波应当是平面波 可用函数 来描述验明平面波考察t时刻的波阵面R的振动 波阵面上 常数平面

10、波 1 2金属的量子电子气理论 1 2 2量子力学及复数基本知识复习 有 16 二 波函数和薛定鄂方程 1 波函数量子力学用函数描述微观粒子的波动性质 状态 这一函数称为波函数 自由粒子的波函数是平面波 波函数的特例 2 波函数的物理意义 几率波电子衍射实验表明了波函数的这一物理意义的客观事实 微观粒子的波动性 衍射花样 是大量粒子在同一实验中的统计结果 也是单个粒子在相同实验中的统计结果 1 2金属的量子电子气理论 1 2 2量子力学及复数基本知识复习 17 粒子波函数的玻恩统计解释 波函数在空间某一点的强度 振幅绝对值的平方 和在该点找到粒子的几率成正比例 几率波式中 d 为d 体积元中找

11、到粒子的几率 c为归一化常数 3 薛定鄂方程量子力学中微观粒子状态的变化 由薛定鄂方程描述薛定鄂方程人为构造 正确性由实验验证 1 2金属的量子电子气理论 1 2 2量子力学及复数基本知识复习 18 4 自由粒子波函数的验证因为 所以 薛定鄂方程为代入求解 即 符合自由粒子能量和动量的关系 1 2金属的量子电子气理论 1 2 2量子力学及复数基本知识复习 19 5 定态波函数 定态薛定鄂方程当U r 与时间无关 如 固体中的微粒状态 令有薛定鄂方程写作称 为定态波函数 上式为定态薛定鄂方程 式中 为能量算符 哈密顿算符 1 2金属的量子电子气理论 1 2 2量子力学及复数基本知识复习 20 6

12、 本征方程 本征函数和本征值一个算符作用于一个函数 得到一个常数和函数本身如 为能量算符的本征方程为能量算符的本征函数为能量算符的本征值在量子力学中 粒子处在本征态 如 能量本征态 则 粒子能量具有确定值E 本征态 所对应的本征值 1 2金属的量子电子气理论 1 2 2量子力学及复数基本知识复习 21 三 量子力学中的力学量力学量用算符来表示 如 坐标算符动量算符哈密顿算符关于量子力学算符的几个重要性质1 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符2 厄米算符的本征函数具有正交性3 厄米算符的本征函数构成完备系4 二个力学量算符之间的对易关系 1 2金属的量子电子气理论 1 2 2量子力学及复数基

13、本知识复习 22 1 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符即 这是由算符本征值是力学量的可能取值 从而是实数决定的 证明 设 是算符 的本征值和本征函数 1 2金属的量子电子气理论 1 2 2量子力学及复数基本知识复习 即 23 2 厄米算符的本征函数具有正交性即当 1 i 是 的本征函数 设已归一化处理 1 i 是对应的本征值则可证明 当 厄米 有证明 由厄米性质得所以应有即 1 2金属的量子电子气理论 1 2 2量子力学及复数基本知识复习 24 3 厄米算符的本征函数构成完备系 求力学量的平均值设 算符 的本征函数为 n x 对应本征值为 n 则任一波函数 x 都可按 n x 展开当系统

14、处在波函数 x 描写的状态 测量力学量G的值 必定是 的本征值之一 n 测得 n的几率是力学量的平均值表示为证明 1 2金属的量子电子气理论 1 2 2量子力学及复数基本知识复习 12 9 7 18 12 25 4 二个力学量算符之间的对易关系可以证明 当二个算符对易 则 力学量F和G构成完备系的共同本征态 同时有确定的值 当二个算符不对易 有是一个不为零的常数 测不准关系 力学量F和G不能同时确定 1 2金属的量子电子气理论 1 2 2量子力学及复数基本知识复习 26 四 复数的基本运算 1 虚数单位的多次方 2 复数的三种表达式代数式 三角式 指数式 相互关系 1 2金属的量子电子气理论

15、1 2 2量子力学及复数基本知识复习 27 3 复数的运算代数式 三角式 指数式 1 2金属的量子电子气理论 1 2 2量子力学及复数基本知识复习 28 4 固体物理学常用的一个复数性质 上述复数 模r 1幅角 2 n在复平面上 矢量躺在实轴上 指向正方向模量为1虚部恒为零 1 2金属的量子电子气理论 1 2 2量子力学及复数基本知识复习 29 1 3量子电子气基态性质 1 3 1量子电子气的薛定鄂方程 电子服从量子力学1 单电子状态由波函数描述 设为 r 2 电子无相互作用 令势能为零 满足与时间无关的定态薛定鄂方程m为电子质量 或在直角坐标系表示 30 1 3量子电子气基态性质 1 3 2

16、周期性边界条件 薛定鄂方程求解需要边界条件我们取周期性边界条件 其选取原则 1 表达电子在有限体积内的事实2 固体表面效应对体内电子影响可以忽略 可令 V L3 3 数学处理方便4 实验验证可行 周期性边界条件 一维情况 三维情况 31 周期性边界条件的几何图象想像很多立方体 立方体的每个表面和相对的另一表面连接在一起 电子运动到达表面后 不是反射回来 而是从相对的表面的对应点进入金属 一维图象是用封闭的环L代替从0到L的直线 1 3量子电子气基态性质 1 3 2周期性边界条件 32 1 3量子电子气基态性质 1 3 3薛定鄂方程的解 可以验证 薛定鄂方程有本征函数解相应本征值注意 1 可以代入薛定鄂方程验证2 这里k是一个与位置r无关的矢量3 k r 已归一化处理 归一化常数为根号V 晶体体积 33 1 3量子电子气基态性质 1 3 4k矢量的意义 1 处在状态 k r 的电子 具有一个与k矢量成正比的确定的动量 P k 证明 根据量子力学动量算符求解 可见 k r 是动量算符的本征态 本征值为P k同时可见 自由电子在态 k r 同时具有确定的能量和动量 因此 k r 是能量算符和