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1、排列、组合问题分类解析一、解决排列、组合问题常用方法：两个原理、优限法、排除法、捆绑法（视一法）、插空法、隔板法、等可能法、固定模型、树图法等，但最基础的是“两个原理”.二、排列、组合问题大体分以下几个类型类型一：排队问题例1：7人站成一排，求满足下列条件的不同站法：（1）甲不站排头，乙不站排尾_（2）甲、乙两人不站两端_（3）甲、乙两人相邻_（4）甲、乙两人不相邻_（5）甲、乙之间隔着2人_（6）甲在乙的左边_（7）若7人顺序不变，再加入3个人，要求保持原先7人顺序不变_（8）若7人中有4男生，3女生，男、女生相间隔排列_（9）7人站成前后两排，前排3人，后排4人的站法_（10）甲站中间_（
2、11）7人中现需改变3人所站位置，则不同排法_（12）若7人身高各不相同，则按照从高到低的站法_（13）甲、乙、丙3人中从左向右看由高到底（3人身高不同）的站法_（14）若甲、乙两人去坐标号为1，2，3，4，5，6，7的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法_类型二：分组与分配问题例2：将6本不同的书，若按如下方式来分，则不同分法种数有：（1）平均分成3堆，每堆2本_（2）分给甲、乙、丙3人，每人2本_（3）分成3堆，每堆本数分别是1，2，3，_（4）分给甲1本，乙2本，丙3本_（5）分给3人，1人1本，1人2本，1人3本_（6）分给甲、乙、丙3人，每人至少1本_（7）若将6本不同书放到5个不同
3、盒子里，有_种不同放法（8）若将6本不同书放到5个不同盒子里，每个盒子至少1本，则有_种不同放法。（9）若将6本不同书放到6个不同盒子里，恰有一个空盒子的方法_。（10）若将6本书放到四个不同盒子中，每个盒子至少一本_（11）若将6本编号为1，2，3，4，5，6的不同的书放到编号为1，2，3，4，5，6的6个不同盒子中，要求有3本书的编号与盒子不一致的放法_（12）将6名优秀指标分到4个不同的班中去，每班至少1名，则分法种数_从中得出注意问题：分清是否是平均分配，有无归属，如2本书平均分成2份，仅有一种分法，而7本书按2，2，3来分有种分法。类型三：数字问题例3：现有0，1，2，3，4，5共6
4、个数字（1）可组成数字可重复的5位数有_个（2）可组成无重复数字的5位数_个（3）可组成无重复数字的5位偶数的个数_ （4）可组成能被5整除的无重复数字的五位数_个（5）在（3）中所有的偶数中，从小到大，第100个数是_（6）用1，2，3，4组成无重复数字的四位数，所有这些四位数的数字和是_，所有这些四位数的和是_（7）由0，1，2，3，4，5六个数构成四位数中个位数与百位数之差的绝对值为4的有_个（8）在由数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数有_个。（9）若从1到100这100个自然数中，任取20个数，要求这20个数两两不相邻的选法_种。（10
5、）1800的正约数的个数为_个类型四：几何问题例4（1）从正方体的6个面中任选取3个面，其中有2个面不相邻的选法种数是_（2）从正方体的8个顶点中，任取两点相连，可形成_对异面直线。（3）从正方体的8个顶点中任取3点连成一个三角形，其中直角三角形有_个。（4）从三棱柱中，任取两个顶点连成一条直线，其中异面直线有_对。（5）在四面体的顶点、各棱中点共10个点中，任取4点，使其不共面，不同取法有_种。A5A4A3A2A1B4B3B2B1O5题图6题图（6）如图，在的边OM上有5个异于O的点，ON上有4个异于O的点，以这10个点为顶点，可得_个三角形。（7）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点
6、为顶点的三角形共有_个。（8）A、B、C、D是海上四岛，要建三座桥，将四岛联接起来，则不同建桥方案有_种。（9）在平面直角坐标系中，平行直线X=n（n：0，1，2，3，4，5）与平行直线y=m(m:0，1，2，3，4，5)组成图形中，矩形有_个。（10）从集合中任取两个元素，作为椭圆方程的m、n，且能组成落在矩形区域的椭圆个数为_个（11）已知直线与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标为整数，这样的直线有_条。（12）有任意三点不共线的2005个点，加上A、B、C三个顶点共2008个点，把这2008个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可形成小三角形_个。（13）若直线方程的系数A、B可以从0，1
7、，2，3，6，7这六个数字中取不同的数而得到，则这样的方程表示不同直线的条数是_。（14）空间中有12个点，其中5点共面，此外无任何四点共面，这12个点可确定_个不同的平面。（15）如图，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有_个。15题图（16）从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取3条的不同取法共有n种，在这些取法中，以取出的三条线段为边构成钝角三角形的个数为m，则_。类型五：涂色问题例5：（1）如图用5种不同颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每一区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，共有_种不同涂法1题图2题图 （2）如图一地区有5个行政区域，
8、现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色供选择，则不同着色方法有_种。3题图4题图（3）某城市中心广建一花圃，花辅分6个部分，现有4种不同颜色的花，每部分栽种一种，且相邻区域不能栽种同一种花，则不同栽种方法有_种。 （4）如图将一四棱锥每一个顶点染上同一种颜色，并使同一条棱上的端点颜色不同，如果仅有5种颜色供使用，则有_种不同染色方法。（5）直线将圆面分成若干块，现用5种不同颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有120种涂色，则m的取值围是_。xOy5题图6题图（6）如右图所示，用5种不同颜色着色，相邻部分不能用同一种颜色，但同一种颜色可反复利用，则不同着
9、色方案有_种。 类型六：列方程求解问题例6：（1）某场足球比赛的计分规则是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一球队打完15场后积33分，若不考虑顺序，则该队胜、负、平的情况共有多少种？（2）某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别是60元、70元的单片软件和盒装磁带，根据需要，软件至少买3件，磁盒至少买2盒，则不同的选购方法有几种？（3）一个口袋有4个不同的红球和6个不同的白球。从中任取4个球，使红球的个数不比白球少，这样的取法有多少种？若取一红球记2分，取一白球记1分，从口袋中取5个球，使总分不少于7的取法种数有多少种？（4）一铁路原有n个车站，为适应客运要求，新增m个车站（
10、），客运票增加了62种，则原有车站_个，现有_个。类型七：选人问题例7：现从12人中选出5人参加一项活动，求满足下列条件的选法。（1）A、B、C三人必须入选：（2）A、B、C三人不能入选：（3）A、B、C三人中只有1人入选：（4）A、B、C三人中至少有1人入选：（5）A、B、C三人中至多二人入选：例8：（1）在11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版也会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，共有_种不同选法。（2）某外商计划在4个侯选城市投资3个不同的项目，且在每一城市投资项目不超过2个，则该外商不同的投资方案，有_种。（3）函数满足，则这样的函数个数共有_个。（4）写有
11、0，1，2，5，7，9的六种卡片，若允许9可以当6用，那么从中抽出三卡片，可以组成_个不同的三位数。（5）设是等差数列，从中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样的等差数列最多可有_（6）从6名学生中，选出4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从事工作A，则不同的选派方案共有_种。（7）将展开后，经合并同类项后的项数有_项。参考答案一、排队问题例1:解(1)法1:(优限法)法2:(排除法)(2)(优限法)(3)(捆绑法)(4)(排除法)(5)(捆绑法)(6)(等可能法)(7)(插空法)(8)(插空法)(9)(分步计数)(10)(优限法)(11)(分步计数,从7
12、人中任取3人,如a,b,c,则改变原位置站法有2种,b,c,a和c,a,b)(12) 1(固定模型)(13)(等可能)(14)6(固定模型,甲、乙两人坐法有(2,4)(2,5)(2,6)(3,5)(3,6)(4,6)6种)二、分组与分配问题例2:解(1)(平均分组,无归属)(2)(平均分配,有归属,而这种分法又可分以下两步:先平均分成3份,每份2本,再分给3人)(3)种(不平均分配,无归属)(4)种(不平均分配,有归属)(5)(不平均分配,有归属但不固定)(6)(分类计数,3人手中书本数可分(2,2,2) (1,1,4)(1,2,3)3类)(7)种(分步计数)(8)(9) (10)(有(1,1,1,3)(1,1,2,2)两类放法)(11)种(同例1第(11)题)(12)种(隔板法)三、数字问题例3:解(1)(2)(3) (4)(5)23510(6)(7)48(8)58(9)(10)36(1800=的取法种数分别有4,3,3种)四、几何问题例4:解(1)(2)174(转化为找组成四面体的个数:每个四面体有3对异面直线)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(共可有桥)(9)(10)(11)72(12)22005+1=4011
