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1、绝密 启用前 2019 2020 学年四川省宜宾市第四中学校高二下学期第二次 月考数学 理 试题 学校 姓名 班级 考号 注意事项 1 答题前填写好自己的姓名 班级 考号等信息 2 请将答案正确填写在 答题卡上 一 单选题 1 已知复数z 满足 1 4i z 则 z 的虚部是 A 2 B 2 C 2i D 2i B 利用复数的除法运算化为 abia bR的形式 则答案可求 解 解 由 1 4i z 得 44 1 4 1 22 1 1 1 2 ii zi iii 则复数z的虚部是2 故选 B 点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算 考查了复数的基本概念 是基础题 2 已知函数 f x 在 x0处
2、的导数为1 则 00 0 2x lim x f xf x x 等于 A 2 B 2 C 1 D 1 A 分析 与极限的定义式比较 凑配出极限式的形式 00 0 0 lim x f xxf x fx x 详解 0000 00 2 2 lim2 lim 2 xx f xxf xfxxf x xx 0 2 212fx 故选 A 点睛 在极限式 00 0 0 lim x f xxf x fx x 中分子分母中的增量是相同的 都是 x 因此有 0000 00 m m limm lim m xx f xxf xf xxf x xx 0 mfx 3 已知双曲线 2 2 1 y Ex n 的一条渐近线方程为
3、2yx 则 E的两焦点坐标分别为 A 3 0 3 0 B 0 3 0 3 C 5 0 5 0 D 0 5 0 5 C 求出双曲线的渐近线方程 可得4n 以此求出焦点坐标 解 双曲线 2 2 1 y Ex n 的渐近线方程为ynx或ynx 所以 2n 即4n 故 2 1a 2 4b 2 5c 所以E的两焦点坐标分别5 0 5 0 故选 C 点评 本题考查双曲线的焦点的求法 注意运用渐近线方程 考查运算能力 属于基础题 4 设向量 1 1 ax r 1 3 bx r 则 2x 是 ab r r 的 A 充分但不必要条件B 必要但不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 A 利用充要条件的判
4、断方法进行判断即可 解 若2x 则1 1a r 3 3b r 则 ab r r 但当 ab r r 时 2 x 故 2x 是 ab r r 的充分但不必要条件 选 A 点评 本题考查充分不必要条件条件的判断 属基础题 5 设X N 1 2 其正态分布密度曲线如图所示 且P X 3 0 0228 那么向正方形 OABC中随机投掷10000 个点 则落入阴影部分的点的个数的估计值为 附 随机变量 服从正态分布N 2 则 P 68 26 P 2 2 95 44 A 6038 B 6587 C 7028 D 7539 B 分析 求出 1 0110 682610 34130 6587 2 Px 即可得出
5、结论 详解 由题意得 P X 1 P X 3 0 0228 P 1 X 3 1 0 022 8 2 0 954 4 1 2 1 1 P 0 X 1 P 0 X 2 0 341 3 故估计的个数为10000 1 0 3413 6587 故选 B 点睛 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 考查正态分布中两个量和 的应用 考查曲线的对称性 6 在 200 件产品中有3 件次品 现从中任意抽取5 件 其中至少有2 件次品的抽法有 A 23 3197C C种B 514 2003197 CC C种 C 23 3198C C种 D 2332 31973197 C CC C种 D 分析 据题意 至少
6、有2 件次品 可分为 有2 件次品 与 有3 件次品 两种情况 由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数 进而相加可得答案 详解 根据题意 至少有2 件次品 可分为 有2 件次品 与 有3 件次品 两种情 况 有 2 件次品 的抽取方法有C3 2C 197 3 种 有 3 件次品 的抽取方法有C3 3C 197 2 种 则共有 C3 2C 197 3 C 3 3C 197 2 种不同的抽取方法 故选 D 点睛 本题考查组合数公式的运用 解题时要注意 至少 至多 最多 最少 等 情况的分类讨论 7 抛物线 2 yx 在 1 1 A 处的切线与y 轴及抛物线所围成的图形面积为 A 1 B 1 2 C
7、 1 3 D 2 C 先求切线方程 再用定积分求图形面积 求出被积函数的原函数即可 解 解 函数的导数为 2fxx 则在1 1处的切线斜率12kf 则对应的切线方程为12 1 yx 即 21yx 则由积分的几何意义可得阴影部分的面积 1 2321 0 0 11 21 33 Sxxdxxxx 故选 C 点评 本题主要考查导数的应用 利用导数的几何意义求出切线方程 以及利用积分求区域面 积是解决本题的关键 8 已知直线220 xy经过椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的上顶点与右焦点 则椭 圆的方程为 A 22 1 54 xy B 2 2 1 5 x yC 22 1 94 xy D 22
8、 1 64 xy A 求出直线与坐标轴的交点 推出椭圆的 a b 即可得到椭圆的方程 解 由题意 直线 2xy20经过椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的上顶点与右焦点 可得1 2cb 可得 22 5abc 所以椭圆的标准方程为 22 1 54 xy 故选 A 点评 本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用 其中解答中熟记椭圆的额 标准方程的形式和简单的几何性质是解答的关键 着重考查了推理与运算能力 属于基 础题 9 若曲线 32 22yxaxax上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角 那么整数 a等 于 A 0 B 1 C 2 D 1 B 求出原函数的导函数 由导函数大于0
9、 恒成立转化为二次不等式对应二次方程的判别式 小于 0 进一步求解关于a的不等式得答案 解 解 由 32 22yxaxax 得 2 342yxaxa Q曲线 32 22Cyxaxax上任意点处的切线的倾斜角都为锐角 对任意实数 2 3420 x xaxa 恒成立 2 4 4320aaV 解得 3 0 2 a 整数 a的值为 1 故答案为B 点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程 函数在某点处的导数值就是对应曲 线上该点处的切线的斜率 考查了数学转化思想方法 是中档题 10 设函数fx在R上可导 其导函数为 fx 如图是函数 g xxfx 的图象 则fx的极值点是 A 极大值点2x
10、极小值点0 xB 极小值点2x 极大值点0 x C 极值点只有2xD 极值点只有0 x C 结合图象 2x时 0g x 故 0 20fxx时 0g x 故 0 0fxx时 0g x 故 0fx 故fx在 2递增 在2 递减 故fx的极值点是 2x 故选 C 11 已知圆 22 1 231Cxy 圆 22 2 349Cxy M N分别 是圆 1 C 2 C上动点 P是x轴上动点 则 PNPM 的最大值是 A 5 2 4 B 2 C 5 2 D 24 D 作出图形 由 2 3PNPC 1 1PMPC 得出21 4PNPMPCPC 利用 1 C P 2 C 三点共线可得出PNPM的最大值 解 如下图
11、所示 圆 1 C 的圆心1 2 3C 半径为1 1r 圆2 C的圆心 2 3 4C 半径为2 3r 22 12 23342C C 由圆的几何性质可得 222 3PNPCrPC 111 1PMPCrPC 2112 4424PNPMPCPCC C 当且仅当 1 C P 2 C三点共线时 PNPM取到最大值 24 故选 D 点评 本题考查折线段长度差的最大值的计算 考查了圆的几何性质的应用以及利用三点共线 求最值 考查数形结合思想的应用 属于中等题 12 已知a bR 且 1 x ea xb对xR恒成立 则ab的最大值是 A 33 2 e B 32 2 e C 3 1 2 eD 3 e C 分析 先
12、求出函数的导数 再分别讨论a 0 a 0 a 0 的情况 从而得出ab 的最大 值 详解 令f x e x a x 1 b 则 f x ex a 若 a 0 则 f x e x b b 0 得 b 0 此时 ab 0 若 a 0 则 f x 0 函数单调增 x 此时 f x 不可能恒有f x 0 若 a 0 由 f x e x a 0 得极小值点 x lna 由 f lna a alna a b 0 得 b a 2 lna ab a 2 2 lna 令 g a a 2 2 lna 则 g a 2a 2 lna a a 3 2lna 0 得极大值点a 3 2 e 而 g 3 2 e 31 2 e
13、 ab 的最大值是 3 1 2 e故选 C 点睛 本题考查函数恒成立问题 考查了函数的单调性 训练了导数在求最值中的应用 渗透了分类讨论思想 是中档题 二 填空题 13 在空间直角坐标系Oxyz中 1 2 1 A 0 1 2 B 1 1 1 C 则异面直线OA 与BC所成角的余弦值为 3 3 先求出 OA u uu r 1 2 1 1 0 1BC uuu v 利用空间向量夹角余弦公式可得结果 解 因为1 2 1A 0 1 2B 1 1 1C 所以 OA u uu r 1 2 1 1 0 1BC uuu v 异面直线OA与BC所成角的余弦值为 1 13 cos 362 OA BC OA BC u
14、 uu v uu u v uuu v uu u v 故答案为 3 3 点评 本题主要考查空间向量的坐标运算 异面直线所成的角以及空间向量夹角余弦公式的应 用 意在考查综合应用所学知识解答问题的能力 属于中档题 14 4 故答案为 15 已知函数 3 2fxxx 若 2 330faafa 则实数 a的取值范围是 1 3 由题意得 f x 为单调递增函数 且为奇函数 所以 2 330faafa 22 3 3 3313f aaf aaaaa 点睛 解函数不等式 首先根据函数的性质把不等式转化为 f g xf h x 的形式 然后根据函数的单调性去掉 f 转化为具体的不等式 组 此时要注意 g x与
15、h x 的取值应在外层函数的定义域内 16 已知抛物线 2 4yx的准线与双曲线 22 22 1 00 xy ab ab 交于A B两点 点F为抛物线的焦点 若FAB为直角三角形 则双曲线离心率的取值范围 是 5 试题分析 抛物线焦点 10 F 由题意01a 且 0 90AFB并被 x轴平分 所 以点 1 2 在双曲线上 得 22 14 1 ab 即 2 222 2 4 1 a bca a 即 224 22 22 45 11 aaa ca aa 所以 22 2 222 54 1 11 ca e aaa 2 015aeQ 故5e 故应填5 考点 抛物线 双曲线 三 解答题 17 从某校高三年级中
16、随机抽取100 名学生 对其高校招生体检表中的视图情况进行统 计 得到如图所示的频率分布直方图 已知从这100 人中随机抽取1 人 其视力在 0 30 5的概率为 1 10 1 求 a b的值 2 若某大学 A专业的报考要求之一是视力在 0 9 以上 则对这100 人中能报考 A专 业的学生采用按视力分层抽样的方法抽取8 人 调查他们对 A专业的了解程度 现从这 8 人中随机抽取3 人进行是否有意向报考该大学A专业的调查 记抽到的学生中视力在 1 11 3的人数为 求的分布列及数学期望 1 100a 0 50b 2 见解析 分析 1 先根据小长方形的面积等于对应区间概率得b 再根据所有小长方形面积和 为 1 求区间 0 9 1 1 概率 除以组距即得a 2 先根据分层抽样得确定视力在1 1 1 3 的人数为3 再确定随机变量的取法 分别利用组合数求对应概率 列表可得分布列 最后根据数学期望公式求期望 详解 解 1 0 20 10 50100bba 2 的可能取值为0 1 2 3 概率为 321 553 33 88 1030 0 1 5656 CC C PP CC 123 533 33
