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1、数学 理 试卷 一 选择题 1 已知复数 2 1i 1i z 则z A 1 B 2C 2 D 4 2 已知集合 1 2 4 2 ABm mA 则 AB的所有元素之和为 A 21 B 17 C 15 D 13 3 秦九韶算法的先进性主要体现在减少运算次数 下列说法正确的是 A 可以减少加法运算次数 B 可以减少乘法运算次数 C 同时减少加法和乘法的运算次数 D 加法次数和乘法次数都有可能减少 4 设 x y满足约束条件 20 0 3 xy xy x 则 22 1 zxy的最大值为 A 41 B 5 C 25 D 1 5 现将甲 乙 丙 丁四个人安排到座位号分别是1 2 3 4 的四个座位上 他们
2、分别有以下要 求 甲 我不坐座位号为1 和 2 的座位 乙 我不坐座位号为1 和 4 的座位 丙 我的要求和乙一样 丁 如果乙不坐座位号为2 的座位 我就不坐座位号为1 的座位 那么坐在座位号为3 的座位上的是 A 甲B 乙C 丙D 丁 6 某四棱锥的三视图如图所示 其中1ab 且 ab 若四个侧面的面积中最小的为 1 9 则 a 的值为 A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 5 6 7 将 6 名留学归国人员分配到济南 青岛两地工作 若济南至少安排2 人 青岛至少安排3 人 则不同的安排方法数是 A 120 B 150 C 35 D 65 8 已知圆 22 3 1Cxy与双曲线 22 22
3、 1 0 0 xy Eab ab 的渐近线相切 且圆心 C 恰 好是双曲线E 的一个焦点 则双曲线E 的标准方程是 A 2 2 1 3 x yB 2 2 1 2 x y C 22 1 912 xy D 2 2 1 2 y x 9 如图 AB CD是半径为 1 的圆 O 的两条直径 3AEEO u uu ruuu r 则 EC ED uu u ruuu r 的值是 A 4 5 B 15 16 C 1 4 D 5 8 10 将函数 sinf xx 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半 纵坐标不变 再向右平移 6 个单位长度得到 yg x 的图象 则函数 yg x 的单调递增区间为 A 5 2 2
4、Z 1212 kkkB 5 2 2 Z 66 kkk C 5 Z 1212 kkkD 5 Z 66 kkk 11 如图 已知一个八面体的各条棱长为1 四边形 ABCD 为正方形 下列说法 该八面体的体积为 1 3 该八面体的外接球的表面积为 2 E 到平面 ADF 的距离为 2 2 EC 与 BF 所成角为 60 其中不正确的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 12 已知函数 322 2 63 1216 0 f xxaxaxaa 只有一个零点 0 x 且00 x 则 a 的 取值范围为 A 1 2 B 1 0 2 C 3 2 D 3 0 2 二 填空题 13 设随机变量X 服从正态分布 3
5、 5 N 若 21 2 P XaP Xa 则实数 a 14 已知 1 tan 43 则 cos2 1sin 2 15 已知数列 n a为等差数列 n S 为数列 n a的前 n 项和 若 215a 327a 则6 S 的 取值范围是 16 已知 F 是抛物线 2 8C yx的焦点 点 2 6 M 点 P 是 C 上任意一点 当点P 在 1P时 PFPM取得最大值 当点P 在 2 P 时 PF PM取得最小值 则 1 2 PP 三 解答题 17 已知函数 2 sin3sincosf xxxx 1 求 f x 在 0 上的单调递增区间 2 在ABC 中 a b c分别是角 A B C的对边 A 为
6、锐角 若 sin 2 1 6 fAA 且 ABC 的面积为 2 3 求 bc 的最小值 18 为评估 M 设备生产某种零件的性能 从该设备生产零件的流水线上随机抽取100 件零件 作为样本 测量其直径后 整理得到下表 直径 mm78 79 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 93 合计 件数1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算 样本的平均值 85 标准差2 2 以频率值作为概率的估计值 1 为评判一台设备的性能 从该设备加工的零件中任意抽取一件 记其直径为X 并根 据以下不等式进行评判 P 表示相应事件的频率 0 6826P
7、X 22 0 9544PX 33 0 9974PX 评判规则为 若同时满足上述三个不等式 则设备等级为 甲 仅满足其中两个 则等级为乙 若仅满足其中一个 则等级为丙 若全部不满足 则等 级为丁 试判断 M 设备的性能等级 2 将直径小于等于2的零件或直径大于等于2的零件认定为是 次品 将直径 小于等于3的零件或直径大于等于3的零件认定为是 突变品 从样本的 次品 中随意抽取2 件零件 求 突变品 个数 Y 的数学期望 19 已知 A B两点在抛物线 2 4C xy上 点 0 4 M满足 C 1 若线段122AB 求直线 AB 的方程 2 设抛物线C 过 A B两点的切线交于点N 求证 点N 在
8、一条定直线上 l 20 已知四棱锥PABCD 中 PA底面 3 4 5ABCD ADBC ABADBCAC 1 当 AP 变化时 点C 到平面 PAB 的距离是否为定值 若是 请求出该定值 若不是 请说明理由 2 当直线 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45 时 求二面角APDC 的余弦值 21 已知函数 2 1 211 ee 22 x f xxfx 1 求 f x 的单调区间 2 若存在 1212 x xxx 使得 12 1f xf x 求证 12 2xx 22 在平面直角坐标系xOy 中 以坐标原点O 为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 曲线 M 的极坐标方程为2cos 若极坐标
9、系内异于O 的三点 12 6 AB 3123 0 6 C在曲线 M 上 1 求证 123 3 2 若过 B C两点直线的参数方程为 3 2 2 1 2 xt t yt 为参数 求四边形OBAC 的面积 23 已知0 0 0abc设函数 Rf xxbxca x 1 若1abc 求不等式 5f x的解集 2 若函数 f x 的最小值为1 证明 149 18 abc abbcca 参考答案 1 答案 B 解析 2 答案 C 解析 3 答案 B 解析 4 答案 A 解析 5 答案 C 解析 6 答案 B 解析 7 答案 C 解析 6 名留学归国人员分配到济南 青岛两地工作 若济南至少安排 2 人 青岛
10、至少安排3 人 分两类 第一类 青岛安排3 人 济南安排3 人 有 3 6 C20种 第二类 青岛安排4 人 济南安排2 人 有 4 6 C15种 根据分类计数原理可得201525 种 故选 C 8 答案 B 解析 9 答案 B 解析 10 答案 C 解析 11 答案 C 解析 12 答案 A 解析 13 答案 5 3 解析 14 答案 3 解析 15 答案 3 60 解析 16 答案 5 17 2 解析 17 答案 1 21cos2sin 2 sin3sincos3 22 xx fxxxx 311 1 sin2cos2sin 2 22262 xxx 由 3 2 2 2 622 xkk可得 2
11、 Z 63 xkkk 设 2 0 Z 63 ABkkk 则 2 63 ABI 故 f x 在 0 上的单调递增区间为 2 63 2 由 sin 2 1 6 f AA可得 1 sin 2 sin 2 1 626 AA 化简可得 1 cos2 2 A 又 0 2 A 解得 3 A 由题意可得 1 sin2 3 2 ABC SbcA 解得 8bc 242bcbc 当且仅当bc 时等号成立 故 b c的最小值为4 2 解析 18 答案 1 82 887 2 0 80 6826PXPX 22 80 689 4 0 940 9544PXPX 33 78 491 6 0 980 9974PXPX 因为设备的
12、数据仅满足一个不等式 故其性能等级为丙 2 由题意可知 样本中次品个数为6 突变品个数为2 突变品 个数 Y 的可能取值为0 1 2 2 4 2 6 C2 0 C5 P Y 11 42 2 6 C C8 1 C15 P Y 2 2 2 6 C1 1 C15 P Y 所以 Y 分布列为 Y 0 1 2 P 2 5 8 15 1 15 2812 012 515153 E Y 解析 19 答案 1 设 E x y 则2x 因为 E 到点 A2 0 与点 B2 0的斜率之积为 1 4 所以1 22 yy xx 整理得C 的方程为 2 2 12 4 x yx 2 当 l 垂直于轴时 l 的方程为1x 代
13、入 2 2 1 4 x y得 3 1 2 P 3 1 2 Q 331 1 1 224 OP OQ u uruuu ur 当 l 不垂直于 x 轴时 依题意可设10yk xk 代入 2 2 1 4 x y得 2222 148440kxk xk 因为 2 16 130k 设 11 P x y 22 Q xy 则 2 12 2 8 14 k xx k 2 12 2 44 14 k x x k 2 12121212 11OPOQx xy yx xkxx uuuu urur 222 1212 1kx xkxxk 24 22 22 2 448 1 1414 kk kk kk 2 117 4416k 1 4
14、 综上 1 4 OP OQ uuu r uuu r 当 l 垂直于 x轴时等号成立 故 OP OQ uuu ruuu r 的最大值是 1 4 解析 20 答案 1 由3 4 5ABBCAC知 222 ABBCAC 则 ABBC 由 PA面 ABCD BC 面 ABCD 得 PA BC 由PAABAI PA AB面 PAB 则 BC面 PAB 则点 C 到平面 PAB 的距离为一个定值 4BC 2 由 PA面 ABCD AB为 PB 在平面 ABCD 上的射影 则PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 则45PBA 所以3PAAB 由 ADBC ABBC得 ABAD 故直线 ABADA
15、P 两两垂直 因此 以点A 为坐标原点 以ABADAP 所在的直线分别为x 轴 y 轴 z 轴建立空间直 角坐标系 易得 0 0 3 0 3 0 3 4 0 PDC 于是 0 3 3 3 1 0 DPDC uuu ruuu r 设平面 PDC 的法向量为 1 nx y z ur 则 1 1 0 0 nDP nDC ur uuu r ur uuu r 即 330 30 yz xy 取 1x 则3 3yz 于是 1 1 3 3 n u r 显然 2 1 0 0 n u u r 为平面 PAD 的一个法向量 于是 12 12 222 12 119 cos 19 1 3 3 nn n n n n ur
16、 u u r u r uu r ur u u r 分析知二面角APDC 的余弦值为 19 19 解析 21 答案 1 2 1 211 ee 22 x f xxfx 令 1 2 x 则 111 1e 2e2 ff 解得 11 2e f 2 1 e21 x fxx 2 1 11 2e22 e1 e1 xxx fx 1x时 函数 fx 取得极小值即最小值 1 0fxf 函数 f x 在 R 上单调递增 2 由 1 可得 函数 2 1 2 1 e 2 x f xxx在 R 上单调递增 要证明 121212 22 2 xxxxf xfx 又 12 1f xf x 因此 1222 21 2 f xfxf xfx 即 22 2 0 1f xfx 11 1 11 22 f 则 12 1x x 令 2 1 22 1 211 2 1e 2 2e 22 xx g xfxf xxxxx 2 1 2 1 211 ee242 1 22 xx xxx 1 0g 2 1 2 1 ee44 xx g xx 2 1 2 1 2e2e40 xx gx gx在 1 上单调递增 1 0gxg 函数 g x 在 1 上单调递增
