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1、 第 1 页 共 8 页1 二项式定理十大典型例题配套练习 1 二项式定理 011 nnnrn rrnn nnnn abC aC abC abC bnN 2 基本概念 二项式展开式 右边的多项式叫做的二项展开式 nab 二项式系数 展开式中各项的系数 r n C 0 1 2 rn 项数 共 n 1 项 是关于与的齐次多项式 ab 通项 展开式中的第项叫做二项式展开式的通项 用表示 1r rn rr n C ab 1 rn rr rn TC ab 3 性质 二项式系数的对称性 与首末两端 对距离 的两个二项式系数相等 即 kn n k n CC 二项式系数和 令 可得二项式系数的和为 1ab 0
2、12 2 rnn nnnnn CCCCC 变形式 12 21 rnn nnnn CCCC 奇数项的二项式系数和 偶数项的二项式系数和 在二项式定理中 令 则 1 1ab 0123 1 1 1 0 nnn nnnnn CCCCC 从而得到 024213211 1 22 2 rrnn nnnnnnn CCCCCCC 二项式系数的最大项 如果二项式的幂指数是偶数时 则中间一项的二项式系数取得最大值 n 2 n n C 如果二项式的幂指数是奇数时 则中间两项的二项式系数 同时取得最大值 n 1 2 n n C 1 2 n n C 系数的最大项 求展开式中最大的项 一般采用待定系数法 设展开式中各项系数
3、分别 nabx 为 设第项系数最大 应有 从而解出来 121 n A AA 1r 1 12 rr rr AA AA r 题型一 二项式定理的逆用 第 2 页 共 8 页2 例 12321 666 nn nnnn CCCC 解 012233 16 6666 nnn nnnnn CCCCC 12321122 1 666 666 6 nnnn nnnnnnn CCCCCCC 0122 111 6661 16 1 71 666 nnnn nnnn CCCC 练 1231 393 nn nnnn CCCC 解 3 14 n 题型二 利用通项公式求的系数 n x 例 在二项式的展开式中倒数第项的系数为 求
4、含有的项的系数 32 4 1 nx x 345 3 x 解 由条件知 即 解得 由 2 45 n n C 2 45 n C 2 900nn 9 10nn 舍去或 由题意 21021 10 3434 11010 r r rrrr r TCxxC x 102 3 6 43 r rr 解得 则含有的项是第项 系数为 3 x7 633 6 110 210TC xx 210 练 求展开式中的系数 29 1 2 x x 9 x 解 令 则 2918 218 3 1999 111 222 rrrrrrrrrr r TCxC xxCx x 1839r 3r 故的系数为 9 x 33 9 121 22 C 题型
5、三 利用通项公式求常数项 例 求二项式的展开式中的常数项 210 1 2 x x 解 令 得 所以 5 20 2 10 2 11010 11 22 r rrrrr r TCxCx x 5 200 2 r 8r 88 910 145 2256 TC 练 求二项式的展开式中的常数项 6 1 2 2 x x 解 令 得 所以 666 2 166 11 2 1 1 2 22 rrrrrrrrr r TCxCx x 620r 3r 33 46 1 20TC 第 3 页 共 8 页3 练 若的二项展开式中第项为常数项 则 2 1 nx x 5 n 解 令 得 42444212 5 1 nn nn TCxC
6、 x x 2120n 6n 题型四 利用通项公式 再讨论而确定有理数项 例 求二项式展开式中的有理项 93 xx 解 令 得 1271 9 362 199 1 r rrrrr r TCxxC x 27 6 r Z 09r 39rr 或 所以当时 3r 27 4 6 r 3344 49 1 84TC xx 当时 9r 27 3 6 r 3933 109 1 TC xx 题型五 奇数项的二项式系数和 偶数项的二项式系数和 例 若展开式中偶数项系数和为 求 2 32 1 nx x 256 n 解 设展开式中各项系数依次设为 2 32 1 nx x 01 n a aa 则有 则有 1x 令 01 0
7、n aaa 1x 令 0123 1 2 nn n aaaaa 将 得 135 2 2 n aaa 1 135 2 n aaa 有题意得 18 22562 n 9n 练 若的展开式中 所有的奇数项的系数和为 求它的中间项 35 2 11 n xx 1024 解 解得 024213211 2 rrn nnnnnnn CCCCCCC 1 21024 n 11n 所以中间两个项分别为 6 7nn 5654 35 5 1 2 11 462 n TCx xx 61 15 6 1 462Tx 题型六 最大系数 最大项 例 已知 若展开式中第项 第项与第项的二项式系数成等差数列 求展开式中二项式系数最 1 2
8、 2 n x 567 大项的系数是多少 解 解出 当时 展开式中二项式系数最大的项是 4652 2 21980 nnn CCCnn 714nn 或7n 第 4 页 共 8 页4 当时 展开式中二项式系数 45 TT和 343 47 135 2 22 TC 的系数 434 57 1 270 2 TC 的系数14n 最大的项是 8 T 777 814 1 C 23432 2 T 的系数 练 在的展开式中 二项式系数最大的项是多少 2 n ab 解 二项式的幂指数是偶数 则中间一项的二项式系数最大 即 也就是第项 2n 21 1 2 nn TT 1n 练 在的展开式中 只有第项的二项式最大 则展开式
9、中的常数项是多少 3 1 2 n x x 5 解 只有第项的二项式最大 则 即 所以展开式中常数项为第七项等于 515 2 n 8n 62 8 1 7 2 C 练 写出在的展开式中 系数最大的项 系数最小的项 7 ab 解 因为二项式的幂指数是奇数 所以中间两项 的二项式系数相等 且同时取得最大值 从而有74 5第项 的系数最小 系数最大 343 47 TC a b 434 57 TC a b 练 若展开式前三项的二项式系数和等于 求的展开式中系数最大的项 79 1 2 2 n x 解 由解出 假设项最大 012 79 nnn CCC 12n 1r T 121212 11 2 14 22 xx
10、 化简得到 又 展开式中系 11 11212 11 12 1212 44 44 rrrr rr rrrr rr AACC AA CC 9 410 4r 012r 10r 数最大的项为 有 11 T 1210101010 1112 1 416896 2 TCxx 练 在的展开式中系数最大的项是多少 10 12 x 解 假设项最大 1r T 110 2 rrr r TCx 化简得到 又 11 10101 11 12 1010 222 11 12 10 22 rrrr rr rrrr rr CCAArr AArr CC 解得6 37 3k 010r 展开式中系数最大的项为 7r 7777 8102
11、15360 TCxx 题型七 含有三项变两项 例 求当的展开式中的一次项的系数 25 32 xx x 解法 当且仅当时 的展开式中才 2525 32 2 3 xxxx 25 15 2 3 rrr r TCxx 1r 1r T 有 x 的一次项 此时 所以得一次项为 124 125 2 3 r TTCxx x 144 542 3 C Cx 第 5 页 共 8 页5 它的系数为 144 542 3 240C C 解法 255505145051455 555555 32 1 2 22 xxxxC xC xCC xC xC 故展开式中含的项为 故展开式中的系数为 240 x 45544 555 222
12、40C xCC xx x 练 求式子的常数项 3 1 2 x x 解 设第项为常数项 则 36 11 2 xx x x 1r 66 2 6 166 1 1 1 rr rrrr r TCxCx x 得 620r 3r 33 3 16 1 20TC 题型八 两个二项式相乘 例 342 12 1 xxx 求展开式中的系数 解 3 33 12 2 2 mmmmm xxx 的展开式的通项是CC 4 44 1 C C1 0 1 2 3 0 1 2 3 4 nnnnn xxxmn 的展开式的通项是其中 34 2 02 11 20 12 1 mnmnmnmnxx 令则且且且因此 2002211112200 3
13、43434 2 1 2 1 2 1 6xCCCCCC 的展开式中的系数等于 练 6103 4 1 1 1 x x 求展开式中的常数项 解 43 6103 3412 610610 4 1 1 1 mnmn mnmn xC xC xCCx x 展开式的通项为 0 3 6 0 1 2 6 0 1 2 10 43 0 4 8 mmm mnmn nnn 其中当且仅当即或或 003468 610610610 4246CCCCCC 时得展开式中的常数项为 练 2 3 1 1 28 n xxxnNnn x 已知的展开式中没有常数项且则 解 34 3 1 CC nrn rrrnr nn xxxx x 展开式的通
14、项为通项分别与前面的三项相乘可得 44142 C C C 28 rnrrnrrnr nnn xxxn 展开式中不含常数项 441424 83 72 6 5 nrnrnrnnnn 且且 即且且 题型九 奇数项的系数和与偶数项的系数和 第 6 页 共 8 页6 例 2006 2 2 xxSxS 在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当时 解 20061232006 01232006 2 xaa xa xa xax 设 20061232006 01232006 2 xaa xa xa xax 35200520062006 1352005 2 2 2 a xa xa xaxxx 得 2006200620
15、06 1 2 2 2 2 xS xxx 展开式的奇次幂项之和为 3 2006 2 200620063008 12 2 2 22 22 2 22 xS 当时 题型十 赋值法 例 设二项式的展开式的各项系数的和为 所有二项式系数的和为 若 3 1 3 nx x ps 则等于多少 272ps n 解 若 有 23 012 1 3 n n n xaa xa xa x x 01n Paaa 0 2 nn nn SCC 令得 又 即解得1x 4nP 272ps 42272 217 216 0 nnnn 216217 nn 或舍去4n 练 若 n x x 1 3的展开式中各项系数之和为 则展开式的常数项为多
16、少 64 解 令 则 n x x 1 3的展开式中各项系数之和为 所以6n 则展开式的常数项为1x 264 n 333 6 1 3 Cx x 540 练 20091232009 200912 01232009 22009 1 2 222 aaa xaa xa xa xaxxR 若则的值为 解 200920091212 00 2200922009 1 0 2222222 aaaaaa xaa 令可得 200912 0 22009 01 1 222 aaa xa 在令可得因而 练 554321 54321012345 2 xa xa xa xa xa xaaaaaa 若则 解 0012345 032 11 xaxaaaaaa 令得令得 12345 31 aaaaa 第 7 页 共 8 页7 题型十一 整除性 例 证明 能被 64 整除 22 389 n nnN 证 2211 389989 8 1 89 nnn nnn 0111211 11111 888889 nnnnn nnnnn CCCCCn 01112 111 8888 1 1 89 nnn nnn CCCnn 01112 111 8
