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1、二次型习题一、填空题1. 实二次型的矩阵为 2. 二次型的矩阵为 .3. 二次型是正定的充分必要条件是与满足 。4. 是正定阵，则满足条件_。5. 实对称阶半正定矩阵的秩为，则二次型的规范形为 。6. 实二次型的矩阵为 。7. 阶实对称矩阵正定，则二次型的规范形为 。8. 二次型的矩阵为 。二、选择题1. 设是实对称矩阵，二次型正定的充要条件是（ ）。（A）； （B）负惯性指数为0 ；（C）的所有主对角线上的元素大于0； （D）存在可逆矩阵，使2. 设A是任意实矩阵，那么二次型必是（ ）A、半正定； B、半负定； C、正定； D、负定；3. 实方阵为正定阵,则下列结论正确的是( )。A. B.
2、 C. D. 不确定4. 已知二次型通过正交线性替换化为标准形,则矩阵（ ）。A. 正定 B. 半正定 C. 负定 D. 不定5. 二次型的系数矩阵是（ ）时必是正定的。 A. 实对称且主对角线上元素为正 B.实对称且顺序主子式值都为正数 C. 实对称且所有元素为正 D.实对称且行列式值为正数6. 已知二次型通过非退化线性替换化为标准形,则二次型（ ）。A. 正定 B. 半正定 C. 负定 D. 不定 三、计算题1. 设二次型问取何值时，为正定二次型？ 2. 化二次型为标准形，写出所作的非退化的线性替换并回答下列问题：（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？（2）该二次型在复数域、实数域
3、上的规范形分别是什么？ 3. 化二次型为标准形，写出所作的非退化的线性替换并回答下列问题：（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？（2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？ 4. 化二次型为标准形，写出所作的非退化的线性替换并回答下列问题：（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？（2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？ 5. 化二次型为标准形，写出所作的非退化的线性替换并回答下列问题：（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？（2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？ 6. 用合同变换法化二次型为标准形；写出所作的非退化线性替换；并分别写出其实数域和复数域上的规范形。7. 试讨论取什么值时， 元二次型是正定的？
