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1、杆+导轨模型专题 永安一中 吴庆堂第一部分考情分析电磁感应现象部分的知识历来是高考的重点、热点，出题时可将力学、电磁学等知识溶于一体，能很好地考查学生的理解、推理、分析综合及应用数学处理物理问题的能力通过近年高考题的研究，此部分每年都有“杆+导轨”模型的高考题出现。涉及的问题主要有四个方面：一、电学问题：主要包括等效电路、法拉第电磁感应定律E=n/t、E=BLv、楞次定律、右手定则、闭合电路欧姆定律I=E/(R+r)、串并联电路基本规律、焦耳定律Q=I2Rt、电流定义式I=q/t、安培力公式F=BIL、左手定则等等。解决电磁感应电路问题的关键就是借鉴或利用相似原型来启发理解和变换物理模型，即把
2、电磁感应的问题等效转换成稳恒直流电路，把产生感应电动势的那部分导体等效为内电路.感应电动势的大小相当于电源电动势。其余部分相当于外电路，并画出等效电路图.此时，处理问题的方法与闭合电路求解基本一致，惟一要注意的是电磁感应现象中，有时导体两端有电压，但没有电流流过，这类似电源两端有电势差但没有接入电路时，电流为零。变换物理模型，是将陌生的物理模型与熟悉的物理模型相比较，分析异同并从中挖掘其内在联系，从而建立起熟悉模型与未知现象之间相互关系的一种特殊解题方法。巧妙地运用“类同”变换，“类似”变换，“类异”变换，可使复杂、陌生、抽象的问题变成简单、熟悉、具体的题型，从而使问题大为简化。二、力学问题：
3、主要包括受力分析、牛顿第二定律F合=ma、导体棒的运动状态变化过程分析和运动性质判断（a和v变化情况）。分析的基本思路是：a与v方向相反或相同v减小或增大E、I、F安均减小或增大F合变化a变化。此类问题中力现象、电磁现象相互联系、相互制约和影响，其基本形式如下：三、能量问题：主要包括动能定理、能量转化和守恒定律等等。分析的基本思路有两条：（一）是分析清楚整个过程中有哪几种形式的能量参与转化，哪些形式的能量增加了，哪些形式的能量减少了。再利用能量守恒建立方程式；（二）是注意功不是能量，仅是能量转化的量度。而且不同的力做的功量度了不同形式的能量转化，如安培力做的负功，其绝对值（即克服安培力做的功）
4、量度了有多少其他形式的能转化为电能（如电磁阻尼），对纯电阻电路来说，这些电能又通过电流做功全部转化为内能（即焦耳热）；相反，安培力做的正功量度了有多少电能转化为其他形式的能（如电磁驱动）。而合外力做的功量度的是物体动能的变化，这就是动能定理。所以，弄清了各种力做的功所量度的不同形式的能量转化，就可以利用功能关系如动能定理建立方程。四、图像问题：主要包括电磁感应现象中所涉及的某个物理量与时间或位移的关系两种形式。如Bt、t、Et、it、ut、Ft、vt、Ex、ix、ux、Fx、vx等等。基本要求有识别图像、求作图像、灵活应用图像三个层面。分析的基本思路将在图像专题中详细介绍，这里就不再赘述。第二
5、部分命题演变 “杆+导轨”模型类试题命题的“基本道具”：导轨、金属棒、磁场，其变化点有：1导轨（1）导轨的形状：常见导轨的形状为U形，还有圆形、三角形、三角函数图形等；（2）导轨的闭合性：导轨本身可以不闭合，也可闭合；（3）导轨电阻：不计、均匀分布或部分有电阻、串上外电阻；（4）导轨的放置：水平、竖直、倾斜放置等等例1（2003上海22）如图1所示，OACO为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O、C处分别接有短电阻丝（图中粗线表法），R1= 4、R2=8（导轨其它部分电阻不计）导轨OAC的形状满足方程y=2sin（x/3）（单位：m）磁感强度B=0.2T的匀强磁场方向垂直于导轨平面一足够长的金属
6、棒在水平外力F作用下，以恒定的速率v=5.0m/s水平向右在导轨上从O点滑动到C点，棒与导轨接触良好且始终保持与OC导轨垂直，不计棒的电阻求：（1）外力F的最大值；（2）金属棒在导轨上运动时电阻丝R1上消耗的最大功率；（3）在滑动过程中通过金属棒的电流I与时间t的关系思路点拨：思路点拨：本题难点在于导轨呈三角函数图形形状，金属棒的有效长度随时间而变化，但第（1）（2）问均求的是某一状态所对应的物理量，降低了一定的难度解第（3）问时可根据条件推导出外力F的表达式及电流I与时间t的关系式，由三角函数和其他条件求出需要的量即可2金属棒（1）金属棒的受力情况：受安培力以外的拉力、阻力或仅受安培力；（2
7、）金属棒的初始状态：静止或运动；（3）金属棒的运动状态：匀速、匀变速、非匀变速直线运动，转动；（4）金属棒切割磁感线状况：单棒或双棒；整体切割磁感线或部分切割磁感线；出现“双棒”时，一般是一动一静或一棒切割磁感线运动另一棒作不切割磁感线的运动。（5）金属棒与导轨的连接：金属棒可整体或部分接入电路，即金属棒的有效长度问题例2如右图甲所示，MN、PQ是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为L，导轨平面与水平面的夹角为，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B，在导轨的M、P端连接一个阻值为R的电阻，一根垂直于导轨放置的金属棒ab，质量为m，从静止释放开始沿导轨下
8、滑求ab棒的最大速度(要求画出ab棒的受力图，已知ab与导轨间的动摩擦因数为，导轨和金属棒的电阻不计)思路点拨： 本题考查电磁感应定律与力学知识的综合运用，涉及的知识面广，但物理状态可以分析清楚：导体受力、运动速度变化感应电动势变化感应电流变化安培力变化合外力变化加速度变化；直到加速度等于零时，导体达稳定运动状态，速度最大，列出平衡方程求出最后结果题后反思：解决此类问题首先要建立一个“动电动”的思维顺序。此类问题中力现象、电磁现象相互联系、相互制约和影响，其基本形式如下：分析方法和步聚可概括为：（1）找准主动运动（即切割磁感线）者，用法拉第电磁感应定律和楞次定律求解电动势大小和方向.（2）根据
9、等效电路图，求解回路电流大小及方向（3）分析导体棒的受力情况及导体棒运动后对电路中电学参量的“反作用”.（4）从宏观上推断终极状态（5）列出动力学方程或平衡方程进行求解.3磁场（1）磁场的状态：磁场可以是稳定不变的，也可以均匀变化或非均匀变化（2）磁场的分布：有界或无界电磁感应现象考查的知识重点是法拉第电磁感应定律，根据法拉第电磁感应定律的表达式E=n/t=n(BS)/ t，有下列四个模型转换：。B变化，S不变B随时间均匀变化如果B随时间均匀变化，则可以写出B关于时间t的表达式，再用法拉第电磁感应定律解题【例3】如图（a）所示，一个电阻值为R，匝数为n的圆形金属线圈与阻值R1 =2R的电阻连接
10、成闭合回路，线圈的半径为r1，在线圈中半径为r2的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图（b）所示，图线与横、纵轴的截距分别为t0和B0，导线的电阻不计，求0至t1时间内（1）通过电阻R1上的电流大小和方向；（2）通过电阻R1上的电量q及电阻R1上产生的热量Q。B随时间非均匀变化B非均匀变化的情况在高中并不多见，如例4第（3）问如果题目给出了B非均匀变化的表达式，也可用后面给出的求导法求解例4（2000上海23）如图所示，固定于水平桌面上的金属框架cdef，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab搁在框架上，可无摩擦滑动此时abed构成一个边长为l的正方
11、形，棒的电阻为r，其余部分电阻不计开始磁感强度为B0（1）若从t=0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为k，同时棒保持静止求棒中的感应电流在图上标出感应电流的方向；（2）在上述（1）情况中，始终保持棒静止，当t=t1末时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？（3）若t=0时刻起，磁感强度逐渐减小，当棒以恒定速度v向右做匀速运动时，可使棒中不产生感应电流，则磁感强度应怎样随时间变化（写出B与t的关系式）？思路点拨：将加速度的定义式和电磁感应定律的表达式类比，弄清k的物理意义，写出可与vt=v0+at相对照的B的表达式B=B0+kt；第（3）问中B、S均在变化，要能抓住产生感应电流的条件（回路闭合；回路
12、中有磁通量的变化）解题B不变，S变化金属棒运动导致S变化金属棒在匀强磁场中做切割磁感线的运动时，其感应电动势的常用计算公式为E=BLv，此类题型较常见，如例5例5（2002上海22）如图所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为l=0.2m，在导轨的一端接有阻值为R=0.5的电阻，在x0处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感强度B=0.5T一质量为m=0.1kg的金属直杆垂直放置在导轨上，并以v0=2m/s的初速度进入磁场，在安培力和一垂直于杆的水平外力F的共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为a=2m/s2、方向与初速度方向相反设导轨和金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好求：（1）电流
13、为零时金属杆所处的位置；（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F的大小和方向；（3）保持其他条件不变，而初速度v0取不同值，求开始时F的方向与初速度v0取值的关系思路点拨：杆在水平外力F和安培力的共同作用下做匀变速直线运动，加速度a方向向左杆的运动过程：向右匀减速运动速度为零向左匀加速运动；外力F方向的判断方法：先假设，再根据结果的正负号判断导轨变形或线框转动导致S变化常常根据法拉第电磁感应定律解题（略）。另外还可在S不规则变化上做文章，如金属棒旋转、导轨呈三角形等等4.“双杆+导轨”模型由于不涉及动量定理和动量守恒定律等内容，也不涉及电源反接、串联和并联等问题，故目前涉及的“双棒+导轨
14、”模型一般是双棒一动一静或一者切割磁感线运动而另一者做无切割磁感线运动。例6 如图所示，足够长的光滑平行金属导轨ef和gh水平放置且相距L，在其左端各固定一个半径为r的四分之三金属光滑圆环，两圆环面平行且竖直。在水平导轨和圆环上各放有一根质量为m,电阻为R与导轨垂直的金属杆ab、cd，其余电阻不计。整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中。当用水平向右的恒力拉细杆ab，并最终达到匀速运动时，杆cd恰好静止在圆环上某处，试求：（1）杆ab做匀速运动时，回路中的感应电流的大小和方向；（2）杆ab做匀速运动时的速度；（3）杆cd静止的位置距圆环最低点的高度。题后反思：电磁感应中的双金
15、属棒导轨问题，由于受到考试说明的要求限制，一般是双棒一动一静或一者切割磁感线运动而另一者做无切割磁感线运动，问题的本质和分析方法与单棒+导轨的情形类似。例7如图相距为L的两光滑平行导轨，平行放置在倾角为的斜面上，导轨的右端接有电阻R（轨道电阻不计），斜面处在一匀强磁场B中，磁场方向垂直于斜面向上，质量为m，电阻为2R的金属棒ab放在导轨上，与导轨接触良好，由静止释放，下滑距离S后速度最大，则A下滑过程电阻R消耗的最大功率为m2g2Rsin2/B2L2；B下滑过程电阻R消耗的最大功率为3 m2g2Rsin2/B2L2；C下滑过程克服安培力做功9m3g2 R2sin2/2B4L4；D下滑过程克服安培力做功 mgSsin-9m3g2 R2sin2/2B4L4。题后反思：犹如滑动摩擦力对系统做功，使系统内能增加一样，在只有动生电磁感应的纯电阻电路中克服安培力做功也使系统内能增加。当电源内阻不计时，系统焦耳热就是外电路电阻上焦耳热。否则外电阻焦耳热只是总焦耳热的一部分。其次，安培力与摩擦力又有区别。滑动摩擦力FN 与压力成正比，通常表现为恒力。而安培力F=B2L2v
