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1、幂函数 说出下列函数的名称 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 常数函数 指数函数 对数函数 我们见过这样形式的函数吗 思考 以上问题中的关系式有什么共同特征 1 都是以自变量x为底数 2 指数为常数 3 自变量x前的系数为1 4 只有一项 1 2 3 4 5 一 幂函数的定义 一般地 我们把形如的函数叫做幂函数 其中为自变量 为常数 练习1 判断下列函数哪几个是幂函数 答案 2 5 思考 指数函数y ax与幂函数y x 有什么区别 中前面的系数是1 后面没有其它项 a为底数 指数 为指数 底数 幂值 幂值 二 幂函数与指数函数比较 判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看未知数x是
2、指数还是底数 幂函数 指数函数 指数函数 幂函数 指数函数 幂函数 快速反应 指数函数 幂函数 已知函数是幂函数 并且是偶函数 求m的值 练习1 这种方法叫待定系数法 练习3 已知幂函数f x 的图像经过点 3 27 求证 f x 是奇函数 二 五个常用幂函数的图像和性质 1 2 3 4 5 定义域 值域 奇偶性 单调性 函数的图像 定义域 值域 奇偶性 单调性 函数的图像 定义域 值域 奇偶性 单调性 函数的图像 8 1 0 1 8 27 0 1 0 x y y x3 64 2 定义域 值域 奇偶性 单调性 函数的图像 定义域 值域 奇偶性 单调性 函数的图像 y x R R R 0 R 0
3、 R 0 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 在R上是增函数 在 0 上是减函数 在 0 上是增函数 在R上是增函数 在 0 上是增函数 在 0 0 上是减函数 1 1 奇偶性 y x2 下面将5个函数的图像画在同一坐标系中 1 2 3 4 5 1 1 2 4 2 4 1 1 1 1 y x 幂函数y x R 随着 的取值不同 它们的定义域 性质和图象也不尽相同 但它们的图象均不经过第四象限 在其他象限的图象可由定义域和奇偶性决定 在第一象限内 0 在 0 上为增函数 0 在 0 上为减函数 幂函数的图象都通过点 1 1 为奇数时 幂函数为奇函数 为偶数时 幂函数为偶函数 解 1 y
4、 x0 8在 0 内是增函数 5 2 5 3 5 20 8 5 30 8 2 y x0 3在 0 内是增函数 0 2 0 3 0 20 3 0 30 3 3 y x 2 5在 0 内是减函数 2 52 7 2 5 练习 4 2 4 方法技巧 分子有理化 例2 a 0 a 1 0 a 1 归纳 幂函数y xa在第一象限的图象特征 a 1 理论 指数大于1 在第一象限为抛物线型 凹 指数等于1 在第一象限为上升的射线 指数大于0小于1 在第一象限为抛物线型 凸 指数等于0 在第一象限为水平的射线 指数小于0 在第一象限为双曲线型 归纳 幂函数图象在第一象限的分布情况 在上任取一点作轴的垂线 与幂函
5、数的图象交点越高 的值就越大 练习 如图所示 曲线是幂函数y xk在第一象限内的图象 已知k分别取四个值 则相应图象依次为 一般地 幂函数的图象在直线x 1的右侧 大指数在上 小指数在下 C4 C2 C3 C1 1 a 1 小结 幂函数的性质 所有幂函数的图象都通过点 1 1 幂函数的定义域 值域 奇偶性和单调性 随常数 取值的不同而不同 如果 0 则幂函数在 0 上为减函数 3 如果 0 则幂函数在 0 上为增函数 2 当 为奇数时 幂函数为奇函数 当 为偶数时 幂函数为偶函数 作业 利用单调性判断下列各值的大小 再见 解析 y x 1的定义域为 0 0 1不合题意 排除B C D 故选A
6、答案 A 答案 B 解析 代入验证 答案 1或2 4 已知函数f x x 且f 2x 1 f 3x 则x的取值范围是 5 已知 m为何值时 f x 是 1 正比例函数 2 反比例函数 3 二次函数 4 幂函数 答案 B 答案 C 例2 右图是幂函数y xm与y xn在第一象限内的图象 则 A 11D n1 幂函数图象在第一象限的分布情况 在上任取一点作轴的垂线 与幂函数的图象交点越高 的值就越大 解析 此类题有一简捷解决办法 在 0 1 内取同一x值x0 作直线x x0 与各图象有交点 则 点低指数大 如右图 0 m 1 n 1 答案 B 在区间 0 1 上 幂函数的指数越大 图象越靠近x轴
7、在区间 1 上 幂函数的指数越大 图象越远离x轴 变式迁移2给出关于幂函数的以下说法 幂函数的图象都经过 1 1 点 幂函数的图象都经过 0 0 点 幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数 幂函数的图象不可能经过第四象限 幂函数在第一象限内一定有图象 幂函数在 0 上不可能是递增函数 其中正确的说法有 答案 3 由于指数函数y 0 2x在R上是减函数 所以0 20 5 0 20 3 又由于幂函数y x0 3在 0 是递增函数 所以0 20 3 0 40 3 故有0 20 5 0 40 3 练习 比较下列各组数的大小 变式迁移3设a 0 20 3 b 0 30 3 c 0 30 2 则a b c的
8、大小关系为 A a b cB a0 2 0 30 3 0 30 2 综上 知0 20 3 0 30 3 0 30 2 即a b c 答案 B 已知幂函数与的图象都与X Y轴都没有公共点 且的图象关于y轴对称 求的值 幂函数是偶函数 且在上为增函数 求函数解析式 解 1 m2 m m m 1 m N 而m与m 1中必有一个为偶数 m2 m为偶数 函数f x m N 的定义域为 0 并且函数f x 在其定义域上为增函数 2 利用幂函数和指数函数的单调性比较幂值的大小 1 当幂的底数相同 指数不同时 可以利用指数函数的单调性比较 2 当幂的底数不同 指数相同时 可以利用幂函数的单调性比较 3 当幂的底数和指数都不相同时 一种方法是作商 通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小 另一种方法是运用媒介法 即找到一个中间值 通过比较两个幂值与中间值的大小 确定两个幂值的大小 4 比较多个幂值的大小 一般也采用媒介法 即先判断这组数中每个幂值与0 1等数的大小关系 据此将它们分成若干组 然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较 最终确定各数之间的大小关系
