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1、最大公约数与最小公倍数应用(一)一、知识要点:1、性质1:如果a、b两数的最大公约数为d,则a=md,b=nd,并且(m,n)=1。 例如:(24,54)=6,24=46,54=96,(4,9)=1。2、性质2:两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。a与b的最小公倍数a,b是a与b的所有倍数的最大公约数,并且ab=a,b(a,b)。 例如:(18,12)= ,18,12= (18,12)18,12=3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。3、辗转相除法二、热点考题:例1 两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18,求另一个自然数。(运用
2、性质2)练一练:甲数是36,甲、乙两数的最大公约数是4,最小公倍数是288,求乙数。例2 两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是210。这两个自然数的和是77,求这两个自然数。分析与解:如果将两个自然数都除以7,则原题变为:“两个自然数的最大公约数是1,最小公倍数是30。这两个自然数的和是11,求这两个自然数。”例3 已知a与b,a与c的最大公约数分别是12和15,a,b,c的最小公倍数是120,求a,b,c。分析与解:因为12,15都是a的约数,所以a应当是12与15的公倍数,即是12,15=60的倍数。再由a,b,c=120知, a只能是60或120。a,c=15,说明c没有质因数2,又
3、因为a,b,c=120=2335,所以c=15。练一练:已知两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少?例4已知两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,求这两个自然数。例5 已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数。习 题 四1已知某数与24的最大公约数为4,最小公倍数为168,求此数。2已知两个自然数的最大公约数为4,最小公倍数为120,求这两个数。3已知两个自然数的和为165,它们的最大公约数为15,求这两个数。4已知两个自然数的差为48,它们的最小公倍数为60,求这两个数。5已知两个自然数的差为30,它们的最小公倍数与最大公约数的差为450,求这
4、两个自然数。6已知两个自然数的和为900,它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432,求这两个自然数。7、五年一班去划船,他们算了一下,如果增加一条船,正好每船坐6个,如果减少一条船,正好每船坐9人,这个班有多少人?8、一个数被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,被6除余5,此数最小是几?9、已知A与B的最大公约数为6,最小公倍数为84,且AB42,求B。10、已知A和B的最大公约数是31,且AB5766,求A和B。11、有一盘水果,3个3个地数余2个,4个4个数余3,5个5个数余4个,问这个盘子里最少有多少个水果?家 庭 练 习1.拖拉机前轮直径64厘米,后轮直径96厘米,拖拉机开
5、动后,前轮至少转多少圈,才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地?2.现在有香蕉42千克,苹果112千克,桔子70千克,平均分给幼儿园的几个班,每班分到的这三种水果的数量分别相等,那么最多分给了多少个班?每个班至少分到了三种水果各多少千克?3、一个数被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,被6除余5,此数最小是几?4、将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。5、两个自然数的最大公约数是12,最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几组?例1 用自然数a去除498,450,414,得到相同的余数,a最大是多少?分析与解:因为498,450,414除以a所得的余数
6、相同,所以它们两两之差的公约数应能被a整除。498-450=48,450-414=36,498-414=84。所求数是(48,36,84)=12。例2 现有三个自然数,它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少?分析与解:只知道三个自然数的和,不知道三个自然数具体是几,似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111,它们的公约数一定是1111 的约数。因为1111=10111,它的约数只能是1,11,101和1111,由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于 1111,1111不可能是三个自然数的公约数,而101是可能
7、的,比如取三个数为101,101和909。所以所求数是101。练习:1、在1000到2000之间,能同时被6、8、10这三个自然数整除的自然数一共有几个?2、三个连续偶数,它们分别是12、14、16的倍数,比它们大的这样三个偶数最小各是多少?3、四个连续自然数,它们分别是6、7、8、9的倍数,比它们大的这样四个自然数最小各是多少?4、甲、乙、丙三人沿600米的环形跑道从同一地点出发同时同向跑步,甲每秒跑3米,乙每秒跑4米,丙每秒跑2米。至少经过多少时间三人又同时从出发点出发?5、两数的乘积是9000,它们的最大公因数是15,这个两数各是多少?6、甲、乙、丙三人绕操场竞走,他们走一圈分别需要1分
8、、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发,最少需多长时间才能再次在起点相会?7、两个小于150的数的积是2028,它们的最大公约数是13,求这两个数。8、有一堆桔子,按每4个一堆分少1个,按每5个一堆分也少1个,按每6个一堆分还是少1个。这堆桔子至少有多少个?【例3】狐狸和袋鼠进行跳远比赛,狐狸每次跳4.5米,袋鼠每次跳2.75米,它们每秒都只跳一次。比赛途中,从起点开始,每隔12.375米设一个陷阱,当它们之中一个先掉进陷阱时,另一个跳了多少米?【例5】用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体搭一个正方体,至少需要多少块这样的长方体木块?【例6】(1)A、B 两数的乘积是216,它们的最小
9、公倍数是36。 A、B两数的最大公因数是多少? (2)甲乙两数的最小公倍数是288,最大公因数是4,甲数是36,乙数是多少?【例7】 加工某种机器零件,要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件,第二道工序每个工人每小时可完成10个,第三道工序每个工人每小时可完成5个,要使加工生产均衡,三道工序至少各分配几个工人?练习:1.甲数是乙数的三分之一,甲数和乙数的最小公倍数是54,甲数是多少?乙数是多少?2.一块长方形地面,长120米,宽60米,要在它的四周和四角种树,每两棵之间的距离相等,最少要种树苗多少棵?每相邻两棵之间的距离是多少米?3.已知两个自然数的积是5766,它们的最大公约
10、数是31.求这两个自然数。4有一队同学去野炊,吃饭时,他们两人一个饭碗,三个人一个菜碗,四个人一个汤碗,一共用了91个碗。参加野炊的至少有多少同学?带余数的除法前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外,例如:163=51,即16=53+1.此时,被除数除以除数出现了余数,我们称之为带余数的除法。一般地,如果a是整数,b是整数(b0),那么一定有另外两个整数q和r,0rb,使得a=bq+r。当r=0时,我们称a能被b整除。当r0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全商(亦简称为商).用带余除式又可以表示为ab=qr,0rb。例1 一个两位数去除251,得到的
11、余数是41.求这个两位数。分析 这是一道带余除法题,且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。解:被除数除数=商余数,即被除数=除数商+余数,251=除数商+41,251-41=除数商,210=除数商。210=2357,210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70,其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。例2 用一个自然数去除另一个整数,商40,余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933,求被除数和除数各是多少?解:被除数=除数商+余数,即被除数=除数40+16。由题意可知:被除数+除数=933-40-16=87
12、7,(除数40+16)+除数=877,除数41=877-16,除数=86141,除数=21,被除数=2140+16=856。答:被除数是856,除数是21。例3 某年的十月里有5个星期六,4个星期日,问这年的10月1日是星期几?解:十月份共有31天,每周共有7天,31=74+3,根据题意可知:有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。这年的10月1日是星期四。例4 3月18日是星期日,从3月17日作为第一天开始往回数(即3月16日(第二天),15日(第三天),)的第1993天是星期几?解:每周有7天,19937=284(周)5(天),从星期日往回数5天是星期二,所以第1993天必是星期二.例
13、5 一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求适合此条件的最小数。这是一道古算题.它早在孙子算经中记有:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”关于这道题的解法,在明朝就流传着一首解题之歌:“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知.”意思是,用除以3的余数乘以70,用除以5的余数乘以21,用除以7的余数乘以15,再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105,那么就减去105,直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下:方法1:270+321+215=233233-1052=23符合条件的最小自然数是23。例5 的解答方法
14、不仅就这一种,还可以这样解:方法2:3,7+2=2323除以5恰好余3。所以,符合条件的最小自然数是23。方法2的思路是什么呢?让我们再来看下面两道例题。例6 一个数除以5余3,除以6余4,除以7余1,求适合条件的最小的自然数。分析 “除以5余3”即“加2后被5整除”,同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。解:5,6-2=28,即28适合前两个条件。想:28+5,6?之后能满足“7除余1”的条件?28+5,64=148,148=217+1,又148210=5,6,7所以,适合条件的最小的自然数是148。例7 一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,求符合条件的最小自然数。解:想:2+3?之后能满足“5除余3”的条件?2+32=8。再想:8+3,5?之后能满足“7除余4”的条件?8+3,53=53。符合条件的最小的自然数是53。归纳以上两例题的解法为:逐步满足条件法.当找到满足某个条件的数后,为了再满足另一个条件,需做数的调整,调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。解这类题目还有其他方法,将会在有关“同余”部分讲到。例8 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个,最后剩1个;如果每次取5个或7个,最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个?解:2+5,71=37(个)37除以3余1,除以5余2,除以7余2,布袋中至少有