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1、专题2.4 函数图象与方程【三年高考】1. 【2016高考新课标1卷】函数在的图像大致为（A）（B）（C）（D）【答案】D时,为增函数故选D.2【2016高考新课标2理数】已知函数满足，若函数与图像的交点为则（ ）（A）0 （B） （C） （D）【答案】C【解析】试题分析：由于，不妨设，与函数的交点为，故，故选C.3【2016高考天津理数】已知函数f（x）=（a0,且a1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）（A）（0， （B）， （C），（D），）【答案】C4【2016高考山东理数】已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同
2、的根，则m的取值范围是_.【答案】 【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示：由图所示，要有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得.5【2016高考上海理数】已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.即，对任意成立因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得故的取值范围为6. 【2015高考上海，理7】方程的解为 【答案】【解析】设，则7.【2015高考北京，理7】如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）A B C D【答案】C8.【20
3、15高考天津，理8】已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是( )（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】由得，所以，即,所以恰有4个零点等价于方程有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.9.【2015高考湖南，理15】已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 .【答案】.10.【2015高考安徽，理15】设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号） ；.【答案】【解析】令，求导得，当时，所以单调递增，且至少存在一个数使，至少存在一个数使，所以必有一个零点，即方程仅有一根，故正确；当时，若，
4、则，易知，在上单调递增，在上单调递减，所以， ，要使方程仅有一根，则或者 ，解得或，故正确.所以使得三次方程仅有一个实 根的是.11.【2015高考江苏，13】已知函数，则方程实根的个数为 【答案】412【2014天津高考理第14题】已知函数，若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为_【答案】【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对函数图象与方程这部分的考查，主要以图象的辨识与对称性以及利用图象研究函数的性质，方程，不等式的解是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，主要考查基本初等函数的图象的应用以及数形结合思想而函数的零点、方程根的问题也是高考的热点，题型既有选
5、择题、填空题，又有解答题客观题主要考查相应函数的图象与性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点方程根的基础上，又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式, 图象的辨识与对称性以及利用图象研究函数的性质，方程，不等式的解是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，主要考查基本初等函数的图象的应用以及数形结合思想而函数的零点、方程根的问题也是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题客观题主要考查相应函数的图象与性质，主观题考查较为综合，在考查函数的零点方程根的基础上，又注重考查函数方程、转化与化归、
6、分类讨论、数形结合的思想方法具体对函数图象的考查，主要包括三个方面，“识图”、“作图”、“用图”，其中包含函数图象的变换（平移、伸缩、对称）以及从已知图象提取信息的能力.对方程的考查，实质是对函数与方程思想的考查.一是借助有关基本初等函数的图象，把方程根的问题转化为求函数图象交点问题，把根的个数问题转化为函数图象交点个数问题；二是通过建立函数关系式，把方程问题转化为讨论函数性质的问题；三是直接解方程.所以函数图象与方程式密不可分的整体，方程问题最终归根于一“算”二“看”，所谓“算”就是通过代数的方程，经过对方程的等价变形，直到得到结果位置；所谓“看”就是数形结合，把根转化为交点问题处理.预测2
7、017年仍然会有函数图象与方程的题目出现，而且会加大对函数图象和性质的考查力度,高考很有可能以函数的零点、方程根的存在问题，将以识图、用图为主要考向，重点考查函数图象的性质以及方程、不等式与图象的综合问题，同学们在复习时要多加注意，多总结多质疑【2017年高考考点定位】高考对函数图象与方程的考查有二种主要形式：一是考察基本初等函数的图象、图象变换和提取信息能力；二是通过研究函数图象的交点，进而得方程根的分布.【考点1】作函数图象【备考知识梳理】（）描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成.（）图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换. 的图像的画法
8、：先画时，再将其关于对称，得轴左侧的图像.的图像画法：先画的图象，然后位于轴上方的图象不变，位于轴下方的图象关于 轴翻折上去.的图象关于对称；的图象关于点对称.的图象关于轴对称的函数图象解析式为；关于轴对称的函数解析式为；关于原点对称的函数解析式为.(3)熟记基本初等函数的图象，以及形如的图象【规律方法技巧】画函数图象的方法(1)直接法当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图像变换法若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的
9、顺序对变换单位及解析式的影响【考点针对训练】1. 【016届福建厦门双十中学高三下热身考】函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意得，函数是奇函数，淘汰D，函数图象过原点，淘汰B，过，淘汰A，故选C.2. 【2016届广西来宾高中高三5月模拟】 如图，是三个底面半径均为1，高分别为1、2、3的圆锥、圆柱形容器，现同时分别向三个容器中注水，直到注满为止，在注水的过程中，保证水面高度平齐，且匀速上升，记三个容器中水的体积之和为，为水面的高，则函数的图像大致为（ ）A B C D【答案】B【考点2】识图与辨图【备考知识梳理】1通过分析函数解析式特征，定性研
10、究函数具有的性质或者经过的特殊点，从而判断函数大致图象2. 根据已知图象，通过分析函数图象特征，得出函数具有的某些特征，进而去研究函数【规律方法技巧】识图常用方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题【考点针对训练】1. 【2016年揭阳市高中毕业班二模】函数（）图象的大致形状是【答案】C2. 【江西省南昌市第二中学2016届高三第四次考试】函数的图象大致是( )ABCD【答案】A【解析】因为，
11、所以函数是偶函数,其图象关于轴对称应排除B、D；又因为当时, , , ，所以选A.【考点3】判断方程根的个数有关问题【备考知识梳理】方程的根的个数等价于函数的图象与轴的交点个数，若函数的图象不易画出，可以通过等价变形，转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题【规律方法技巧】函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交
12、点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点【考点针对训练】1. 【2016届江西省上高二中高三全真模拟】已知函数，则函数在区间上的零点个数为（ ）A3 B4 C5 D6【答案】C2. 【河北省邯郸市第一中学2016届高三下学期研六】关于的方程有唯一的解，则实数的取值范围是 .【答案】或【解析】要使方程有意义，则， 设，若，此时函数在【考点4】与方程根有关问题【备考知识梳理】（）方程有实根函数的图象与轴有交点函数有零点（）如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有那么，函数在区间内有零点，即存在，使得f (c) = 0，这个c也就是方程f (x) = 0的根【规律方法技巧】已知函数有零
13、点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解【考点针对训练】1. 【河北省衡水中学2016届高三一调】已知是定义在上的周期为3的函数，当时，.若函数在区间-3,4上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 【答案】2. 【2016届安徽省江南十校高三二模】已知定义在上的奇函数，对于都有，当时，则函数在内所有的零点之和为（ ）A6 B8 C10 D12【答案】D【解析】因为
14、函数在内所有的零点之和，就是在内所有的根之和，也就是交点横坐标之和，画出函数图象，如图，由图知，所以，故选D.【应试技巧点拨】1.如何利用函数的解析式判断函数的图象利用函数的解析式判断函数的图象,可从下面几个角度去考虑：（1）讨论函数的定义域及函数的奇偶性和单调性；（2）考虑是否可由基本初等函数的图象变换作出图象；（3）准确描出关键的点线(如图象与x、y轴的交点，极值点(顶点)，对称轴，渐近线，等等).2. 如何转换含有绝对值的函数 对含有绝对值的函数，解题关键是如何处理绝对值，一般有两个思路：一是转化为分段函数：利用分类讨论思想，去掉绝对值，得到分段函数.二是利用基础函数变换：首先得到基础函数，然后利用y=f(x)y=f(|x|)或y=f(x)y=|f(x)|，得到含有绝对值函数的图象.3.平移变换中注意的问题函数图象的平移变换，里面有很多细节，稍不注意就会出现差错.所以要从本质深入理解，才不至于模棱两可.(1)左右平移仅仅是相对
