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1、 2 3函数的奇偶性 1 奇函数 偶函数的概念 一般地 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 那么函数f x 就叫做偶函数 一般地 如果对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 那么函数f x 就叫做奇函数 2 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性 一般都按照定义严格进行 一般步骤是 1 考查定义域是否关于 2 根据定义域考查表达式f x 是否等于f x 或 f x 若 则f x 为奇函数 若f x 则f x 为偶函数 若f x 且f x 则f x 既是奇函数又是偶函数 若f x f x 且f x f x 则f x 既不是奇函数又不是偶函数 即非奇非偶函数 要点梳理 f x f x
2、f x f x 原点对称 f x f x f x f x f x 3 奇偶函数的性质 1 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 填 相同 相反 2 在公共定义域内 两个奇函数的和是 两个奇函数的积是偶函数 两个偶函数的和 积是 一个奇函数 一个偶函数的积是 1 2008 福建理 4 函数f x x3 sinx 1 x R 若f a 2 则f a 的值为 解析设g x x3 sinx 很明显g x 是一个奇函数 f x g x 1 f a g a 1 2 g a 1 g a 1 f a g a 1 1 1 0 相同 相反 奇函数 偶函数 奇函数 基础自测 0
3、 5 函数f x g x 在区间 a a a 0 上都是奇函数 有下列结论 f x g x 在 a a 上是奇函数 f x g x 在 a a 上是奇函数 f x g x 在 a a 上是偶函数 f 0 g 0 0 则其中正确结论的个数是 解析 f x g x 都是定义域 a a 上的奇函数 f x g x f x g x f x g x 正确 又任取x a a 则f x g x f x g x f x g x 正确 又f x g x f x g x f x g x 正确 又 f x g x 在x 0处都有定义 且为奇函数 f 0 0 g 0 0 f 0 g 0 0 故 正确 4 判断下列函数
4、的奇偶性 1 f x 2 f x log2 x x R 3 f x lg x 2 思维启迪 先求函数的定义域 再判断f x 与f x 的关系 解 1 x2 1 0且1 x2 0 x 1 即f x 的定义域是 1 1 f 1 0 f 1 0 f 1 f 1 f 1 f 1 故f x 既是奇函数又是偶函数 题型一函数奇偶性的判断 2 方法一易知f x 的定义域为R 又 f x log2 log2 log2 x f x f x 是奇函数 方法二易知f x 的定义域为R 又 f x f x log2 x log2 x log21 0 即f x f x f x 为奇函数 3 由 x 2 0 得x 2 f
5、 x 的定义域 x x 2 关于原点不对称 故f x 为非奇非偶函数 探究拓展 1 确定函数的奇偶性 一般先考察函数的定义域是否关于原点对称 若不对称 则为非奇非偶函数 若对称再看f x 与f x 的关系 2 判断函数奇偶性的常用方法有 利用定义 求和 差 判断 求商判断 即看与 1的关系 注意此时分母不为零才可以 图象法 性质法 已知函数f x 当x y R时 恒有f x y f x f y 1 求证 f x 是奇函数 2 如果x R f x 0 并且f 1 试求f x 在区间 2 6 上的最值 思维启迪 1 根据函数的奇偶性的定义进行证明 只需证f x f x 0 2 根据函数的单调性定义
6、进行证明 并注意函数奇偶性的应用 1 证明 函数定义域为R 其定义域关于原点对称 f x y f x f y 令y x f 0 f x f x 令x y 0 f 0 f 0 f 0 得f 0 0 f x f x 0 得f x f x f x 为奇函数 题型二函数的奇偶性与单调性 2 解方法一设x y R f x y f x f y f x y f x f y x R f x 0 f x y f x 0 f x y f x x y x f x 在 0 上是减函数 又 f x 为奇函数 f 0 0 f x 在 上是减函数 f 2 为最大值 f 6 为最小值 f 1 f 2 f 2 2f 1 1 f
7、 6 2f 3 2 f 1 f 2 3 所求f x 在区间 2 6 上的最大值为1 最小值为 3 方法二设x1 x2 且x1 x2 R 则f x2 x1 f x2 x1 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 x1 0 f x2 x1 0 f x2 f x1 0 即f x 在R上单调递减 f 2 为最大值 f 6 为最小值 f 1 f 2 f 2 2f 1 1 f 6 2f 3 2 f 1 f 2 3 所求f x 在区间 2 6 上的最大值为1 最小值为 3 探究拓展 1 满足f a b f a f b 的函数 只要定义域是关于原点对称的 它就是奇函数 2 运用函数的单调性是求最值 或值
8、域 的常用方法之一 特别对于抽象函数 更值得关注 16分 已知函数f x 的定义域为R 且满足f x 2 f x 1 求证 f x 是周期函数 2 若f x 为奇函数 且当0 x 1时 f x x 求使f x 在 0 2009 上的所有x的个数 思维启迪 1 只需证明f x T f x 则f x 即是以T为周期的周期函数 2 由第 1 问可知只需求一个周期中f x 的x的个数便可知在 0 2009 上的x的个数 1 证明 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x 2分 f x 是以4为周期的周期函数 4分 题型三函数的奇偶性与周期性 2 解当0 x 1时 f x x 设 1
9、x 0 则0 x 1 f x x x f x 是奇函数 f x f x f x x 即f x x 7分 故f x x 1 x 1 8分 又设1 x 3 则 1 x 2 1 f x 2 x 2 10分 又 f x 2 f 2 x f x 2 f x f x f x x 2 f x x 2 1 x 3 11分 f x 12分 由f x 解得x 1 f x 是以4为周期的周期函数 f x 的所有x 4n 1 n Z 14分 令0 4n 1 2009 则 又 n Z 1 n 502 n Z 在 0 2009 上共有502个x使f x 16分 探究拓展判断函数的周期只需证明f x T f x T 0 便
10、可证明函数是周期函数 且周期为T 函数的周期性常与函数的其他性质综合命题 是高考考查的重点问题 方法与技巧 任何一个定义域关于原点对称的函数 都可以写成一个偶函数加一个奇函数的形式 例如y f x 的定义域关于原点对称 则g x 为偶函数 h x 为奇函数 且f x g x h x 失误与防范 1 注意f x 为奇函数 则f 0 0或f 0 无意义 2 注意奇 偶 函数的定义域关于原点对称 1 判断下列各函数的奇偶性 1 f x x 2 2 f x 解 1 由 0 得定义域为 2 2 关于原点不对称 故f x 为非奇非偶函数 这时f x f x f x 为偶函数 3 x 1时 f x x 2
11、x 1 f x x 2 x 2 f x x 1时 f x x 2 x 1 f x x 2 f x 1 x 1时 f x 0 1 x 1 f x 0 f x 对定义域内的每个x都有f x f x 因此f x 是偶函数 2 已知函数y f x 的定义域为R 且对任意a b R 都有f a b f a f b 且当x 0时 f x 0恒成立 f 3 3 1 证明 函数y f x 是R上的减函数 2 证明 函数y f x 是奇函数 3 试求函数y f x 在 m n m n Z 上的值域 1 证明设x1 x2 R 且x1 x2 f x2 f x1 x2 x1 f x1 f x2 x1 x2 x1 0
12、f x2 x1 0 f x2 f x1 f x2 x1 f x1 故f x 是R上的减函数 2 证明 f a b f a f b 恒成立 可令a b x 则有f x f x f 0 又令a b 0 则有f 0 f 0 f 0 f 0 0 从而 x R f x f x 0 f x f x 故y f x 是奇函数 3 设f x 是定义在R上的偶函数 其图象关于直线x 1对称 对任意x1 x2 都有f x1 x2 f x1 f x2 且f 1 a 0 1 求f及f 2 证明 f x 是周期函数 3 记an f 求an 3 1 解 对x1 x2 都有f x1 x2 f x1 f x2 f x fx 0
13、 1 f 1 a 0 f a f a 2 证明 y f x 的图象关于直线x 1对称 f x f 1 1 x 即f x f 2 x x R 又由f x 是偶函数知 f x f x x R f x f 2 x x R 将上式中 x用x代换 得f x f x 2 x R 这表明f x 是R上的周期函数 且2是它的一个周期 3 解由 1 知f x 0 x 0 1 f x 的一个周期是2 an f an a 1 充分不必要2 13 已知函数f x 是R上的偶函数 g x 是R上的奇函数 且g x f x 1 若f 0 2 则f 2008 的值为 解析由g x f x 1 得g x f x 1 又g x
14、 为R上的奇函数 g x g x f x 1 f x 1 即f x 1 f x 1 用x 1替换x得 f x f x 2 又f x 是R上的偶函数 f x f x 2 f x f x 4 即周期T 4 f 2008 f 0 2 2 4 5 2009 徐州六县一区联考 设f x 是定义在R上的奇函数 且当x 0时 f x 2x 3 则f 2 6 f x x x 2 7 已知函数f x g x 2 x 3 3 且g x 满足g x g x 若f x 的最大值 最小值分别为M N 则M N 解析因为g x 是奇函数 故f x 关于 0 2 对称 所以M N 4 8 b 4 1 4 9 已知f x 是
15、实数集R上的函数 且对任意x R f x f x 1 f x 1 恒成立 1 求证 f x 是周期函数 2 已知f 3 2 求f 2004 1 证明 f x f x 1 f x 1 f x 1 f x f x 1 则f x 2 f x 1 1 f x 1 f x f x f x 1 f x f x 1 f x 3 f x 1 2 f x 1 1 f x f x 6 f x 3 3 f x 3 f x f x 是周期函数且6是它的一个周期 2 2 10 f x xlg 2 x x R 11 已知函数f x x2 x a 1 a R 1 试判断f x 的奇偶性 2 若 a 求f x 的最小值 解
16、1 当a 0时 函数f x x 2 x 1 f x 此时 f x 为偶函数 当a 0时 f a a2 1 f a a2 2 a 1 f a f a f a f a 此时 f x 为非奇非偶函数 2 当x a时 f x x2 x a 1 a a 故函数f x 在 a 上单调递减 从而函数f x 在 a 上的最小值为f a a2 1 当x a时 函数f x x2 x a 1 a a 故函数f x 在 a 上单调递增 从而函数f x 在 a 上的最小值为f a a2 1 综上得 当 a 时 函数f x 的最小值为a2 1 12 设函数f x 在 上满足f 2 x f 2 x f 7 x f 7 x 且在闭区间 0 7 上 只有f 1 f 3 0 1 试判断函数y f x 的奇偶性 2 试求方程f x 0在闭区间 2005 2005 上的根的个数 并证明你的结论 从而知函数y f x 的周期为T 10 又f 3 f 1 0 而f 7 0 故f 3 0 故函数y f x 是非奇非偶函数 解 2 由 1 知y f x 的周期为10 又f 3 f 1 0 f 11 f 13 f 7 f 9 0 故f
