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1、例1已知椭圆的右焦点为，且在椭圆C上（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）在x轴上存在点，使得恒成立【解析】（1）由题意知，由椭圆定义的，即，椭圆C的方程为（2）假设在轴上存在点，使得恒成立，当直线l的斜率不存在时，由于，所以，下面证明时，恒成立；（直线方程其它设法通过验证也相应给分）当直线l的斜率为0时，则，符合题意；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，由及，得，有，综上所述：在x轴上存在点使得恒成立例2已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和
2、的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：340（1）求的标准方程；（2）请问是否存在直线满足条件：过的焦点；与交不同两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由【答案】（1），；（2）存在直线满足条件，且的方程为或【解析】（1）设抛物线，则有，据此验证个点知、在抛物线上，易求，设，把点、代入，得，解得，方程为（2）假设存在这样的直线过抛物线焦点，设直线的方程为，两交点坐标为，由，消去，得，由，即，得，将代入（*）式，得，解得，所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为或1如图，在平面直角坐标系中，已知圆，椭圆，为椭圆右顶点过原点且异于坐标轴的直线与椭圆交于，两
3、点，直线与圆的另一交点为，直线与圆的另一交点为，其中设直线，的斜率分别为，（1）求的值；（2）记直线，的斜率分别为，是否存在常数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在常数，使得【解析】（1）设，则，所以（2）联立，得，解得，联立，得，解得，所以，所以，故存在常数，使得2如图，椭圆的离心率为，其左顶点在圆上（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆的另一个交点为，与圆的另一个交点为当时，求直线的斜率；是否存在直线，使得?若存在，求出直线的斜率；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）直线的斜率为，；不存在，详见解析【解析】（1）因为椭圆的左顶点在圆上，所以又离心率为，所以，
4、所以，所以的方程为（2）设点，显然直线存在斜率，设直线的方程为，与椭圆方程联立得，化简得到，因为为上面方程的一个根，所以，所以，由，代入得到，解得，所以直线的斜率为，因为圆心到直线的距离为，所以因为，代入得到显然，所以不存在直线，使得3已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且（1）求动点P所在曲线C的方程；（2）直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；（3）记，(A、B、是（2）中的点)，问是否存在实数，使成立若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）点F在以MN为直径的圆的外部；（3）存在实数使得结论成立【解析】（1）设动点为，依据题意，有，化简得，因此，动点P所在曲线C的方程是（2）点F在以MN为直径的圆的外部理由：由题意可知，当过点F的直线的斜率为0时，不合题意，故可设直线，如图所示：联立方程组，可化为，则点，的坐标满足又、，可得点、点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断因，则于是，为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部（3）依据（2）可算出，则，所以，即存在实数使得结论成立10
