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1、2020年高三年级第一次诊断性测试文科数学（卷面分值：150分考试时间：120分钟）第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合A，直接进行交集运算即可.【详解】，故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法，求出复数z即可.【详解】复数z满足，故本题选B.【点睛】本题考查复数的四则运算，要求掌握复数的除法运算，比较基础.3.已知是两条不
2、同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，且，则D. 若，且，则【答案】D【解析】【分析】根据空间中直线和平面的位置关系分别去判断各个选项，均可举出反例；可证明得出.【详解】若，则或与异面或与相交，故选项错误；若，则与可能相交，故选项错误；若直线不相交，则平面不一定平行，故选项错误；， 或，又 ，故选项正确.本题正确选项：【点睛】本题考查空间中直线、平面之间位置关系有关命题的判断，考查学生的空间想象能力和对定理的掌握程度.4.设，则有（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】比较三个数与中间量0,1的大小即可求得大小关系.【详解】因为，
3、所以故选：A【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小，属于基础题.5.已知向量，且，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】求出的坐标，由知，列出方程即可求出m.【详解】，因为，所以，解得.故选：C【点睛】本题考查向量的坐标表示，两向量垂直则向量的数量积为0，属于基础题.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，B为虚轴的一个端点，且，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意得，则即，又，即可解得.【详解】已知，因为，则在中，所以即，又，联立得，所以.故选：D【点睛】本题考查双曲线的几何性质，属于基础题.
4、7.执行如图所示的程序框图，则输出的( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】解：模拟程序的运行，可得S=0，n=1S=2，n=2满足条件S30，执行循环体，S=2+4=6，n=3满足条件S30，执行循环体，S=6+8=14，n=4满足条件S30，执行循环体，S=14+16=30，n=5此时，不满足条件S30，退出循环，输出n的值为5故选C【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论
5、，是基础题8.从这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出基本事件总数n，再求出这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m，由此能求出这两个数字的和为偶数的概率【详解】从1、2、3、4、5、这五个数字中，随机抽取两个不同的数字，基本事件总数n，这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m4，这两个数字的和为偶数的概率为p故选B【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用9.等比数列的前项和为，且、成等差数列，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设等比
6、数列的公比为，根据题意得出关于的二次方程，求出的值，然后利用等比数列求和公式可求出的值.【详解】设等比数列的公比为，由于、成等差数列，且，即，即，解得，因此，.故选：C.【点睛】本题考查等比数列求和，解题的关键就是计算出等比数列的首项和公比，考查计算能力，属于基础题.10.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列关于说法正确的是（ ）A. 最大值为1，图象关于直线对称B. 在上单调递减，为奇函数C. 在上单调递增，为偶函数D. 周期是，图象关于点对称【答案】A【解析】分析】首先求出，求出函数的值域与对称轴即可选出正确答案.【详解】函数的图象向左平移个单位长度得到，的值域为， 令，
7、则，所以直线是的一条对称轴，故A正确.为偶函数，周期为,故B错误；当时，令，则在上显然不单调，故C错误；，故D错误，故选：A【点睛】本题考查余弦型函数的性质，包括单调性、周期性、对称性与奇偶性，属于基础题.11.已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，点P在抛物线上，且，延长PF交C于点Q，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先求出抛物线方程，根据抛物线定义求出点P的坐标，从而写出直线PF的方程，与抛物线方程联立可求得，代入即可求得面积.【详解】由题意知p=2，抛物线方程为：，点F(1,0)，设点P，点Q，因为，解得，又点P在抛物线上，则，不妨设，则直线PF的方程为
8、： 联立可得：，解得故选：A【点睛】本题考查抛物线的定义与方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.12.已知函数，若对任意，都有，则实数m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】借助根式运算将不等式化简为，由函数的单调性可得对任意成立，则m不大于函数在上的最小值即可.【详解】解：由题意易知：，则又函数在R上单调递增，所以，即对任意成立，因为在上单调递减，最小值为，所以，解得.故选：B【点睛】本题考查分段函数，幂函数的单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.第卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分13.若，满足约束条件，则的最大值为_【答案】6
9、【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由，可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线在y轴截距最大时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而
10、联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.14.已知为锐角，则_【答案】【解析】【分析】先求出，再利用两角和的正弦公式展开，带值计算即可.【详解】解：为锐角，则为钝角，则，故答案为：.【点睛】本题考查已知角的三角函数值求未知角的三角函数值，关键是要找到已知角和未知角之间的关系，将未知角用已知角表示出来，是基础题.15.已知数列满足：（），若，则 .【答案】【解析】试题分析：因,故当时,即时,即,所以;当时,即时,可得,不成立,所以,应填.考点：分段数列的通项及运用16.如图，已知正方体的棱长为2，E、F
11、、G分别为的中点，给出下列命题：异面直线EF与AG所成的角的余弦值为；过点E、F、G作正方体的截面，所得的截面的面积是；平面三棱锥的体积为1其中正确的命题是_（填写所有正确的序号）【答案】【解析】【详解】取的中点为点H，连接GH、AH，如图1所示，因为,所以就是异面直线EF与AG所成的角易知在中，所以，正确；图1 图2 图3矩形即为过点E、F、G所得正方体的截面，如图2所示，易知,所以，错误；分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立如图3所示直角坐标系,则，因为，所以，又平面，平面且，所以平面，故正确，正确.故答案为：【点睛】本题考查异面直线的夹角，平面截正方体所得截面，线面垂直的证明，
12、三棱锥的体积，属于中档题.三、解答题：第1721题每题12分，解答应写出文字说明、证明过计算步骤17.的内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将条件变形，利用余弦定理求；（2）根据条件，利用基本不等式求出最大值，再根据三角形的面积公式代入的最大值求最值即可.【详解】解：（1）由题意得，即，所以，因，；（2）由余弦定理得：，故，则，当时，的面积最大值为.【点睛】本题考查余弦定理的应用，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，是基础题.18.如图，四棱锥中，底面ABCD，M为PD的中点（1）证明：平面PAB（2）若是边长为2的等边三角
13、形，求点C到平面PBD的距离【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1) 取AD中点N，连接MN和CN ，首先证明、，从而证明平面平面由面面平行的性质可推出平面PAB ；(2)根据题意知，证明，从而求出，由等体积法即可求出点C到平面PBD的距离.【详解】（1）如图取AD中点N，连接MN和CN，又平面，平面，平面，又，四边形ABCN是平行四边形，又平面，平面，平面又因为平面平面PAB，平面平面；（2）是边长为2的等边三角形，因，所以，所以，不妨设点C到平面PBD的距离为d,则,即【点睛】本题考查线面平行的证明，面面平行的性质，等体积法求点到面的距离，属于基础题.19.“团购”已经渗透到我
14、们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，下表是2013-2017年全国快递业务量（x亿件：精确到0.1）及其增长速度（y%）的数据（1）试计算2012年的快递业务量；（2）分别将2013年，2014年，2017年记成年的序号t：1，2，3，4，5；现已知y与t具有线性相关关系，试建立y关于t的回归直线方程；（3）根据（2）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：，【答案】（1）（亿件）（2）（3）2019年快递业务增长量为（亿件）【解析】【分析】(1) 设2012年的快递业务量为a，根据题意列出方程求解即可； (2)先求出，代入即可求出，再代入 即可求出，从而得到回归直线方程；(3)首先利用(2)中求出的回归直线方程求出2018年快递业务增长量，再令，求出2019年快递业务增长量.【详
