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1、第六章期权定价 2 教学内容 股价过程BSM随机微分方程风险中性定价B S期权定价公式标的资产支付连续红利情况下的期权定价欧式指数期权 外汇期权和期货期权 3 马尔科夫过程 Markovprocess 无记忆性 未来的取值只与现在有关 与过去无关如果股价过程是马尔科夫过程 那么股价在未来某时刻的概率分布不依赖于股价过去的路径股价的历史信息全部包含在当前的股价当中 简单的技术分析不能战胜市场股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性 4 Wiener过程 布朗运动 定义 瞬时增量为增量的均值等于0增量的标准差等于 在任意两个微小时间段内的改变量是独立的Wiener过程是Markov过程 5
2、Wiener过程 布朗运动 基本性质 Wiener过程 长时间段内 的增量增量的均值等于0增量的标准差等于在任意时间段内的期望路径长度为无穷大在任意时间段内 z取某一给定值的期望次数等于无穷大 6 广义Wiener过程 x是广义Wiener过程 如果漂移速度a是常数b是常数x是广义Wiener过程增量为正态分布 均值等于标准差为 7 Ito引理 x是Ito过程 如果Ito引理 G是x与t的函数 在一定的正则条件下 因此 G也是Ito过程 中国最庞大的数据库下载 8 Ito引理 应用于股票远期价格 标的资产为不分红的股票 则远期价格为运用Ito引理 得到 9 股价过程 股价过程 几何布朗运动 单
3、位时间内股价的期望收益率 瞬时 股价的波动率 S为股价过程 则 10 股价过程 对数正态分布 股价对数过程 称股价呈对数正态分布 11 股价过程 收益率分布 股票收益率 长时间尺度 与瞬时期望收益率的差异约定 在没有特别声明的情况下 股票收益率指瞬时期望收益率 12 BSM随机微分方程 假设 股价过程为Ito过程卖空无限制没有交易成本 税收 证券是无限可分的衍生工具在到期之前不产生红利不存在套利机会证券可以连续交易所有期限的无风险利率同为常数 13 BSM随机微分方程 推导 f表示股票衍生工具的价值 则它是股价与时间的函数离散形式 14 BSM随机微分方程 推导 由于股价过程与衍生工具价格过程
4、中的随机部分是相同的 因此 通过选择股票与衍生工具的适当组合可以消除掉Wiener过程 1个单位衍生工具空头 份股票把上述投资组合的价值记作 15 BSM随机微分方程 推导 组合的价值不包含随机部分 因此是瞬时无风险的股票衍生工具都满足上述方程 不同工具的差异体现在边界条件上欧式买权 当t T时 欧式卖权 当t T时 16 BSM随机微分方程 应用于股票远期 股票远期的价格满足BSM方程 17 BSM随机微分方程 BSM的任何解都是某种可以交易的衍生工具的理论价格 并且它的交易不会导致套利机会如果不满足BSM方程 它是某种衍生工具的价格 那么该衍生工具的交易必然导致套利机会 18 风险中性定价
5、 risk neutralvaluation Black Scholes Merton方程不包含股票收益率 说明衍生工具的价值与投资者的风险偏好无关 因此 在定价衍生工具时 可以采用任何风险偏好 特别地 可以假设投资者是风险中性的在风险中性世界中 所有证券的期望收益率都等于无风险利率风险中性定价的一般程序假设标的资产的期望收益率等于无风险利率计算衍生工具在到期日的期望支付 payoff 把期望支付按无风险利率贴现风险中性定价是求解BSM方程的一种人造方法 用该方法求得的解适用于任何投资者 不仅限于风险中性的投资者 19 风险中性定价 应用于股票远期 边界条件 根据风险中性定价原则 20 欧式期
6、权定价 期权定价是一件非常具有挑战性的任务 在20世纪的前面70多年里 众多经济学家做出无数努力 试图解决期权定价的问题 但都未能获得令人满意的结果 在探索期权定价的漫漫征途中 具有里程碑意义的工作出现在1973年 金融学家F Black与M Scholes发表了 期权定价与公司负债 的著名论文该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式 Black Scholes欧式期权定价公式 探讨了期权定价在估计公司证券价值方面的应用 更重要的是 它采用的动态复制方法成为期权定价研究的经典方法M Scholes主要因为这一工作与R Merton一道荣膺了1997年的诺贝尔经济学奖 21 BS期权定价公式
7、22 欧式期权定价 轶事 巧合的是 国际上第一个期权交易所 芝加哥期权交易所于1973年4月底挂牌营业 略早于B S公式的正式发表 5 6月号 两位作者最先把论文投给JPE 遭到了编辑的拒绝 而且没有得到审稿意见 拒绝的理由 金融太多 经济学太少他们于是向经济学与统计学评论投稿 同样在没有得到审稿意见的情况下遭到拒绝在芝加哥人E Fama和M Miller与JPE杂志的编辑打了招呼以后 JPE才最终发表了这篇论文这一番波折导致他们检验B S公式的论文发表在先 23 BS期权定价公式 离散红利 不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定 股票的市场价格 期权执行价格 期权距离到期的时间 无风险利率
8、以及标的股票的波动率如果标的股票在期权到期之前分配现金红利 由于股票期权没有分红的保护 因此不能直接利用B S期权定价公式确定欧式期权的价值 解决这个问题的办法是 用股票的市场价格减去股票在期权到期日之前分配的红利的现值作为股价代入到B S公式中 从而得到欧式期权的价值 24 美式买权的执行问题 股票分红 分红前夕 相应的分红数量 如果在最后一次分红前夕执行期权 投资者得到的价值为如果在最后一次分红前夕不执行期权 那么 期权的下界告诉我们 所以 如果 即 那么 在最后一次分红前夕执行期权不是最优方案如果 可以证明 在股价充分高的情况下 执行期权是最优方案 25 美式买权的执行问题 股票分红 一
9、般地 如果 那么在第I次分红前夕执行期权不是最优方案总结美式买权如果提前执行 通常发生在最后一次分红的前夕如果对i 1 2 n 成立 那么 提前执行不是最优方案 26 美式卖权的执行问题 股票分红 美式卖权在分红之前的一段时间里执行不是最优方案如果对i 1 2 n 成立 那么 卖权不应该提前执行 27 欧式股票期权 连续红利 下述两种股票在T时刻的价格分布相同当前股价为 支付连续红利 红利率为q当前股价为 不支付红利定价原则 在定价标的股票支付连续红利的欧式期权时 可以把它当作标的股票不支付红利的欧式期权 只要用替代当前股价 28 欧式股票期权 连续红利 期权下界平价关系 29 欧式股票期权
10、连续红利 BSM随机微分方程风险中性定价 30 欧式股票期权 连续红利 31 股票指数期权与外汇期权 连续红利的BS定价公式可以直接用于股票指数期权与外汇期权的定价 32 期货期权 支付 期货期权的到期时间通常稍早于标得期货得到期时间最活跃的期货期权CBOT交易的中长期国债期货期权 美式 CME交易的欧洲美元期货期权 美式 买权期货合约多头头寸 相当于期货最新结算价的现金 期权执行价Max F X 0 其中F表示期权执行时的期货价格卖权期货合约空头头寸 相当于期货最新结算价的现金 期权执行价Max X F 0 其中F表示期权执行时的期货价格 33 期货期权 平价关系 欧式期权美式期权 34 期货期权 风险中性下的期望增长率 在风险中性条件下 支付连续红利的股票的期望增长率为 r q 其中r为无风险利率 q为红利率签订期货合约不需要支付 因此期货价格的期望增长率为零 参见第8页 如果把期货看作支付连续红利的股票 那么该股票的红利率等于无风险利率期货价格等于期货到期日即期价格的期望值 35 期货期权 定价 假设期货价格过程为在连续红利的期权定价公式中 用期货价格代替股票价格 并且用无风险利率r替代红利率q 就得到期货期权的定价公式
