《2020年长沙理工大学高等数学练习册第五章定积分答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年长沙理工大学高等数学练习册第五章定积分答案（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题 略 习题 A 一 计算下列定积分 1 2 0 3 cossinxdxx 解 原式 2 34 2 0 0 11 coscoscos 44 xdxx 2 a dxxax 0 222 解 令taxsin 则tdtadxcos 当0 x时0t 当ax时 2 t 原式 2 0 22 coscossintdtatata 2 0 4 2 0 2 4 4cos1 8 2sin 4 dtt a tdt a 4 2 0 44 16 4sin 4 1 828 at aa 3 3 122 1xx dx 解 令tgx 则ddx 2 sec 当1x 3时分别为 4 3 原式d tg 3 4 2 2 sec sec
2、3 4 2 sinsind 3 3 2 2 4 1 1 45x xdx 解 令ux45 则 2 4 1 4 5 ux ududx 2 1 当1x 1 时 1 3u 原式 6 1 5 8 1 1 3 2 duu 5 4 1 1x dx 解 令tx tdtdx2 当1x时 1t 当4x时 2t 原式 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 t dt dt t tdt 3 2 ln221ln2 2 1 2 1 tt 6 1 4 3 11x dx 解 令ux1 则 2 1ux ududx2 当1 4 3 x时0 2 1 u 原式2ln21 1 11 2 1 2 2 1 0 0 2 1 du u u d
3、u u u 7 2 1 ln1 e xx dx 解 原式 22 11 ln1 ln1 1 ln ln1 1 ee xd x xd x 232ln12 2 1 e x 8 0 2 2 22xx dx 解 原式 0 2 0 22 1 11 xarctg x dx 244 11arctgarctg 9 dxx 0 2cos1 解 原式 00 2 cos2cos2dxxdxx 2 2 0 cos2cos2dxxxdx 22sinsin2 2 2 0 xx 10 dxxx sin 4 解 xx sin 4 为奇函数 0sin 4 xdxx 11 dxx 2 2 4 cos4 解 原式 2 0 2 2 2
4、 0 4 cos22cos24dxxxdx 2 0 2 2 0 2 2cos2cos2122cos12dxxxdxx 2 0 2 0 2 0 4cos12cos22dxxxdxx 2 0 2 0 44cos 4 1 2 2sin2xxdx 2 3 4sin 4 1 2 3 2 0 x 12 5 5 24 23 12 sin dx xx xx 解 12 sin 24 23 xx xx 为奇函数 0 12 sin 5 5 24 23 dx xx xx 13 3 4 2 sin dx x x 解 原式 3 4 xdctgx 3 4 3 4 ctgxdxxctgx 3 4 sinln 9 3 4 1
5、x 2 2 ln 2 3 ln 9 3 4 1 2 3 ln 2 1 9 3 4 1 14 4 1 ln dx x x 解 原式 4 1 ln2xxd 4 1 4 1 lnln2xdxxx 4 1 1 2ln42dx x x 4 1 2 1 22ln8dxx 42ln8 15 1 0 xarctgxdx 解 原式 1 0 2 2 1 arctgxdx 1 0 2 2 1 0 2 12 1 dx x x arctgxx 1 0 2 1 0 12 1 2 1 8x dx dx 1 0 1 0 2 1 2 1 8 arctgxx 2 1 4 16 2 0 2 cosxdxe x 解 原式 2 0 2
6、 sin xde x 2 0 2 2 0 2 2sinsindxexxe xx 2 0 2 cos2xdee x 2 0 2 2 0 2 2cos2cos2dxexxee xx 2 0 2 cos42xdxee x 故2 5 1 cos 2 0 2 exdxe x 17 dxxx 0 2 sin 解 原式 0 2 0 2 2 2cos1 sindx x xdxxx 0 2 0 2 2cos 2 1 2 1 xdxxdxx 0 2 0 3 2sin 4 1 6 1 xdxx 00 2 3 22sin2sin 4 1 6 xdxxxx 0 3 2cos 4 1 6 xxd 46 2cos2cos
7、4 1 6 3 0 0 3 xdxxx 18 dxx e 1 lnsin 解 原式 e e dx x xxxx 1 1 1 lncoslnsin e dxxe 1 lncos1sin e e dx x xxxxe 1 1 1 lnsinlncos1sin e dxxee 1 lnsin11cos1sin 故11cos1sin 2 lnsin 1 e dxx e 19 2 4 3 coscosdxxx 解 原式 2 4 2 cos1cosdxxx 2 0 0 4 sincossincosxdxxdxxx 2 0 2 3 0 4 2 3 cos 3 2 cos 3 2 xx 3 2 3 4 4 2
8、0 4 0 sin1 sin dx x x 解 原式 4 0 2 sin1 sin1sin dx x xx 4 0 2 2 cos sin dxxtg x x 4 0 2 4 0 2 1sec cos cos dxx x xd 2 4 2 cos 1 4 0 4 0 xtgx x 21 dx x xx 0 2 cos1 sin 解 令tx 2 则 原式 2 2 2 2 cos1 2 sin 2 dt t tt 2 2 22 sin1 cos sin1 cos 2 dt t tt t t 4 sin sin1 cos 2 2 0 2 0 2 tarctgdt t t 22 2 1 0 1 1 l
9、ndx x x x 解 原式 2 1 0 2 21 1 ln x d x x 2 1 0 2 2 2 1 0 2 1 111 1 1 21 1 ln 2 dx x xx x xx x xx 2 1 0 2 2 1 ln3ln 8 1 dx x x 2 1 0 2 2 1 0 1 3ln 8 1 x dx dx 2 1 0 1 1 ln 2 1 2 1 3ln 8 1 x x 3ln 8 3 2 1 B 一 解答 1 求由 0cos 00 xy t tdtdte所决定的隐函数y对x的导数 dx dy 解 将两边对x求导得 0cosx dx dy e y y e x dx dycos 2 当x为何
10、值时 函数 x t dttexI 0 2 有极值 解 2 x xexI 令0 xI得0 x 当 0 x 时 0 xI 当0 x时 0 xI 当0 x时 函数xI有极小值 3 x x dtt dx d cos sin 2 cos 解 原式 t a a x dttdtt dx d cos 2 sin 2 coscos x a x a dttdtt dx d cos 2 sin 2 coscos xxxxcoscoscossinsincos 22 xxxsincoscoscossincos 22 xxxx 22 sincossincossincos xxx 2 sincoscossin 4 设 1
11、2 1 1 1 2 xx xx xf 求 2 0 dxxf 解 2 1 2 1 0 2 0 2 1 1dxxdxxdxxf 3 8 6 1 2 1 2 1 3 1 0 2 xxx 5 1 lim 2 0 2 x dtarctgt x x 解 xx arctgx x dtarctgt x x x 21 2 1 lim 1 lim 2 1 2 2 2 0 2 型 x arctgx x x x arctgxx xx 2 2 2 2 1 1 lim 1 lim 4 1 1lim 2 2 2 arctgx x x 6 设 其它 0 0 sin 2 1 xx xf 求 x dttfx 0 解 当0 x时
12、00 00 xx dtdttfx 当x0时 2 cos1 sin 2 1 0 x tdtx x 当x时 10sin 2 1 000 xxx dttdtdttfdttfdttfx 故 时当 时当 时当 x xxx 1 0 cos1 2 1 0 0 7 设 时当 时当 0 1 1 0 1 1 x e x x xf x 求 2 0 1 dxxf 解 时当 时当 1 1 1 1 1 1 1 x e x x xf x 2 1 1 0 1 2 0 11 1 1 1dx xe dx dxxf x 2 1 1 0 1 11 1 1 1 x dx xd e ee x xx 2ln1ln1 1 0 1x e e1
13、ln 8 2 2 2 1 limnnn n n 解 原式 nn n nn n 121 lim 3 21 lim 1 0 1 dxx nn i n i n 9 求 n k n k n k n nen e 1 2 lim 解 原式 n k n k n k n n e e 1 2 1 1 lim 1 1 2 00 arctanarctan 14 x x x e dxee e 10 设xf是连续函数 且 1 0 2dttfxxf 求xf 解 令 Adttf 1 0 则Axxf2 从而AdxAxdxxf2 2 1 2 1 0 1 0 即AA2 2 1 2 1 A 1xxf 11 若 2ln2 6 1 x
14、t e dt 求x 解 令ue t 1 则 2 1lnut du u u dt 2 1 2 当2ln2t时 3u 当xt时 1 x eu 3 1 3 1 2 2ln2 2 1 2 1 x x e ext arctgu uu udu e dt 6 1 3 2 x earctg 从而2lnx 12 证明 2 1 2 1 2 1 22 2 dxee x 证 考虑 2 1 2 1 上的函数 2 x ey 则 2 2 x xey 令0y得0 x 当0 2 1 x时 0y 当 2 1 0 x时 0y 2 x ey在0 x处取最大值1y 且 2 x ey在 2 1 x处取最小值 2 1 e 故 2 1 2
15、1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 dxdxedxe x 即 2 1 2 1 2 1 22 2 dxee x 13 已知 a x x x dxex ax ax22 4lim 求常数a 解 左端 a x x e ax a22 1lim 右端 a x a x dexxdex 2222 222 a x a x dxxeex 222 22 a xa xdeea 222 22 a x a xa dxexeea 2222 22 a eaa 22 122 aa eeaa 222 122 解之0a或1a 14 设 0 0 1 2 xe xx xf x 求 3 1 2 dxxf 解 令tx2 则
16、 e dtedttdttfdxxf t1 3 7 12 1 0 0 1 2 1 1 3 1 15 设xf有一个原函数为x 2 sin1 求 2 0 2dxxfx 解 令tx2 且xxxf2sinsin1 2 00 2 0 4 1 2 1 2 2dttf tdttf t dxxfx 0 0 0 4 1 4 1 dttfttfttdf 0sin12sin 4 1 0 2 0 ttt 16 设xbaxxfln 在3 1上0 xf 求出常数a b 使 3 1 dxxf最 小 解 当 3 1 dxxf最小 即 3 1 lndxxbax最小 由0ln xbaxxf知 baxy在xyln的上方 其间所夹面积最小 则baxy是xyln的切线 而 x y 1 设 切 点 为 00 ln xx 则 切 线 00 0 ln 1 xxx x y 故 0 1 x a 1ln 0 xb 于是 3 1 3 1 2 3 1 ln 2 lnxdxbxx a dxxbaxI 3 1 lnln124xdxaa 令0 2 4 a I a 得 2 1 a 从而2 0 x 12lnb 又0 2 2 a I a 此时 3 1 dx
