《2020年重庆高三下学期线上期中考试理科数学试题（含答案）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年重庆高三下学期线上期中考试理科数学试题（含答案）（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、绝密 启用前 重庆南开中学高2020 级高三下学期线上中期考试 数学 理科 试题 注意事项 1 答题前填写好自己的姓名 班级 考号等信息2 请将答案正确填写在答题卡上 一 选择题 本大题共12 小题 每小题5 分 共 60 分 在每小题给出的四个备选项中 只有一项是符合 题目要求的 1 已知 2 aii为纯虚数 则实数a的值是 A 1 B 1 2 C 1 2 D 1 2 已知集合 1 2 3 A Bab aAbA 则集合B的子集个数为 A 8 B 16 C 32 D 64 3 已知曲线 2 lnfxaxx在点 1 1 处的切线与直线0 xy平行 则实数a的值为 A 3B 1 C 2 D 3 4
2、 已知等差数列 n a的前n项和为 n S 若 6 12S 2 5a 则 5 a A 3B 1C 1 D 3 5 已知 0 3 1 2a 0 3 log1 2b 1 2 log3c 则 A abcB cbaC bcaD bac 6 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体中最 长的棱长为 A 1 B 5C 6D 2 2 7 函数 2 sincoscos 2 2 f xxxx的最小值为 A 2B 1C 0 D 1 2 8 抛物线 2 2 0 Cypx p的焦点为F A B是抛物线C上两点 且 10AFBF O为坐标 原点 若OAB 的重心为F 则p A 1 B 2 C 3 D 4 9 执行如图所
3、示的程序框图 若输入的3 则输出的结果为 A 511 B 1022 C 1023 D 2046 10 我们知道 在n次独立重复试验 即伯努利试验 中 每次试验中事件A发生的概率为p 则事件A 发生的次数X服从二项分布 B n p 事实上 在无限次伯努利试验中 另一个随机变量的实际应用也很 广泛 即事件A首次发生时试验进行的次数Y 显 1 1 k P Ykpp 1 2 3k 我们称Y服 从 几何分布 经计算得 1 E Y p 由此推广 在无限次伯努利试验中 试验进行到事件A和A都发 生后停止此时所进行的试验次数记为Z 则 11 1 1 kk P Zkppp p 2 3k 那么 E Z A 1 1
4、 1 pp B 2 1 p C 1 1 1 pp D 2 1 1 p 1l 已知双曲线 22 22 1 0 0 xy Cab ab 的左右焦点分别为 12 F F 过 1 F的直线l与双曲线C的两 支分别交于 A B两点 2 90AF B 4ABa 则双曲线C的离心率为 A 2B 3C 2 D 3 2 2 12 已知 A B C D四点均在半径为R R为常数 的球O的球面上运动 且ABAC ABAC ADBC 若四面体ABCD的体积的最大值为 1 6 则球O的表面积为 A 3 2 B 2C 9 4 D 8 3 二 填空题 本大题共4 小题 每小题5 分 共 20 分 13 已知 a b r r
5、 均为单位向量 且 3 2 abab rrrr 则向量a r 与b r 夹角的余弦值为 14 已知 2 n xnN x 的展开式中第3项与第 6项的二项式系数相等 则展开式中x的系数为 15 正三棱柱 111 ABCA B C中 2AB 1 2 2AA D为棱 11 A B的中点 则异面直线AD与 1 CB所 成角的大小为 16 已知定义在R上的函数 f x满足 2 f xf x 当 1 1 x时 1 2 x f xe 则关于函数 f x有如下四个结论 f x为偶函数 f x的图象关于直线2x对称 方程 1 f xx有 两个不等实根 122 23 ff 其中所有正确结论的编号 三 解答题 共7
6、0 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第17 21 题为必考题 每个试题考生 都必须作答 第22 23 为选考题 考生根据要求作答微博橙子辅导 一 必考题 共60 分 17 如图 在ABC 中 1 sin 3 B 点D在边AB上 1 若sin 1CA 求sin A的值 2 若90CDA 4BDDA 求sinACB的值 18 如图 在四棱锥PABCD中 PA面ABCD ABCDP 且22CDAB 2 2BC 90ABC M为BC的中点 1 求证 平面PDM平面PAM 2 若二面角PDMA为30 求直线PC与平面PDM成角的正弦值 19 新型冠状病毒肺炎19COVID疫情发生以来 在世界
7、各地逐渐蔓延 在全国人民的共同努力和各级 部门的严格管控下 我国的疫情已经得到了很好的控制 然而 每个国家在疫情发生初期 由于认识不足 和措施不到位 感染确诊人数都会出现加速增长 下表是小王同学记录的某国从第一例新型冠状病毒感染 确诊之日开始 微博橙子辅导连续 天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数 日期代码x1 2 3 4 5 6 7 8 累计确诊人数y4 8 16 31 51 71 97 122 为了分析该国累计感染确诊人数的变化趋势 小王同学分别用两种模型 2 ybxa ydxc对 变量x和y的关系进行拟合 得到相应的回归方程并进行残差分析 残差图如下 注 残差 iii eyy 且经过计算
8、得 8 1 8 2 1 17 3 ii i i i xxyy xx 8 1 8 2 1 1 9 ii i i i zzyy zz 其中 2 ii zx 8 1 1 8 i i zz 1 根据残差图 比较模型 的拟合效果 应该选择哪个模型 并简要说明理由 2 根据 1 中选定的模型求出相应的回归方程 3 如果第9 天该国仍未釆取有效的防疫措施 试根据 2 中所求的回归方程估计该国第9 天新型冠状 病毒感染确诊的累计人数 结果保留为整数 附 回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 8 1 8 2 1 ii i i i xxyy b xx aybx 20 已知函数 3 1 lnf xxax 2
9、 4g xxax 1 若函数 yf xg x在其定义域内单调递增 求实数a的取值范围 2 是否存在实数a 使得函数 yf xg x的图像与x轴相切 若存在 求满足条件的a的个数 请说明理由 21 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 2 2 过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆 截得的弦长为2 1 求椭圆的方程 2 设点 A B均在椭圆上 点C在抛物线 21 2 yx上 若ABC 的重心为坐标原点O 且ABC 的 面积为 3 6 4 求点C的坐标 二 选考题 共10 分 请考生在第22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参
10、数方程 在平面直角坐标系xOy中 以原点O为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 已知直线l的极坐标方程 为sin2 4 曲线C的极坐标方程为 2 sincos 1 写出直线l和曲线C的的直角坐标方程 2 过动点 2 0000 P xyyx且平行于l的直线交曲线C于 A B两点 若 2PAPB 求动点 P到 直线l的最近距离 23 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 1 1 2 2 f xxxx 1 若关于x的不等式 f xa 有解 求实数a的取值范围 2 若不等式 4f xxb 对任意xR成立 求实数b的取值范围 重庆南开中学高2020 级高三下学期线上中期考试 数学 理科 答案 一 选择题
11、B C A B D C A D B A B C 二 填空题 1 5 560 30 三 解答题 17 解 1 由sin 1CA得 2 CA 1 sinsin sin2cos2 23 BACAA 由 2 1 12sin 3 A得 3 sin 3 A 2 设4DBm DAm 由 1 sin 3 B得2CDm 3 2BCm 3ACm ABC 中 sinsin ACAB BACB 5 3 sin 9 ACB 18 证明 1 易知 2 tantan 1 CDBM DMCMABDMCMAB CMBA 90DMCAMBDMAM 又PAQ平面ABCDPADM 由 可得DM平面PAM平面PAM平面PDM 2 由
12、1 知二面角PMDA的平面角即为30PMA 3 1 3 PAMA 取CD中的N 连接AN 易得ANCD 直线PANABA 两两垂直 以A为原点 ANABAP 分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则 0 0 1 P 22 1 0 D 22 1 0 C 2 1 0 M 2 2 1 1 CP u uu r 2 2 0 MD uuu u r 2 1 1 MP uu ur 设平面PMD的法向量为 mx y z u r 则由 0 2 1 3 0 m MP m m MD u ruuu r u r u ruuu u r 设直线PC与平面PMD所 成角为 则 41330 sin 30 10 2 3 CP
13、m CPm uu u r u r u uu ru r 直线PC与平面 PMD所成角的正弦值为 30 30 19 解 1 选择模型 理由如下 根据残差图可以看出 模型 的估计值和真实值相对比较接近 模型 的残差相对较大一些 所以模型 的拟合效果相对较好 2 由 1 知y关于x的回归方程为 2 ybxa 令 2 zx 则 ybza 由题知1 9b 又 1 1491625364964 25 5 8 z 1 481631517197122 50 8 y 1 55aybz y关于x的回归方程为 2 1 91 55yx 3 估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为 2 1 991 55155 451
14、55y 人 20 解 1 1 32 a yf xg xyxa x 由 yf xg x单增得0y恒成立 分 离参数得 2 1 32 321 1 1 1 x xx x a x x 恒成立 令 2 321 1 xx m x x 0 x 则 2 2 244 1 xx m x x 0m x m x在 0 上单调递增 0 1m xm 1a 2 设 2 3 1 ln4n xf xg xxaxxax 则 1 32 a n xxa x 设函数 yn x的图像与x轴相切于 0 xx处 则 2 00000 00 0 3 1 ln40 1 320 n xxaxxax a nxxa x 由 得 0 00 00 2 1
15、1 1 3201 xaxa xax xx 或 0 12ax 当 0 1x时 由 得 2a 当 0 12ax时 由 得 2 0000 22ln40 xxxx 令 2 22 ln4h xxxxx 则 2 ln h xxx 2 1 x h x x h x在 0 1 单调递减 在 1 单调递增 min 1 20h xh h x在 0 单调递增 又 1 50hQ 222 640h eee 0h x只有一解 0 x 且 2 0 1 xe 2 0 211 21axe 由 可知 满足条件的实数a有两个 1 2a 2 2 1 21ae 21 解 1 由题意易知 22 2 2 2 2 1 2 2 ab a a b
16、 b a 椭圆 2 2 1 2 x y 2 2 2 2221 2220 2 x y mymtyt AB xmyt设 22 820mt 设 11 A x y 22 B xy 则由题知 122 2 2 C mt yyy m 1212 2 4 2 2 C t xxxm yyt m 由C点在抛物线 2 1 2 yx上得 2 2 22 2142 22221 mtt m mmt 1 2 t 1221122112 333 3 222 ABCABO SSx yx ymyt ymyt yt yy 2222 22 32 223 623 22424 tmttmt mm 将 代入 整理得 2 21 4 21 301ttttt或 3 2 相应的 2 2m或 1 所以 2 1 2 C 或 2 1 C 22 解 1 直线 2lyx 曲线 2 Cyx 2 过P平行于l的直线的参数方程为 0 0 2 2 2 2 xxt yyt t为参数 联立曲线 2 Cyx得 22 000 12 20 22 tytyx 00 1 220 2 xy 所以 222 1 2000000 2221PAPBt tyxxyyx 点P的到直线l的距
